知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，a1=
2
，且对任意n∈N^*，都有an+1=
a
2
n
+2
3
．
（1）计算a₂，a₃，a₄，由此推测{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若bn=(-2)n(an4-an2)(n∈N*)，求无穷数列{b_n}的各项之和与最大项．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S_n+a_n=2n．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

难度：中等

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3．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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4．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．
（2）求证：U_n+1＞U_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
1
2
，S_n=n²a_n．
（1）分别计算a₂，a₃，a₄，猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明之；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹（n∈N^*）能被17整除．

难度：中等

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7．求证：∀n∈N^*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜
2
3
（n+1）ⁿ⁺¹成立．

难度：中等

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8．设二次函数f（x）=x²+mx+p在点（2，f（2））处的切线方程为3x-y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用数学归纳法证明：
1
f′(1)
+
1
f′(2)
+…+
1
f′(n)
≤
2n-1
对一切n∈N^*恒成立．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和是S_n，S_n+a_n=
1
2
（n²+5n+2）（n∈N）．
（1）求a₁的值，并用n和a_n表示a_n+1；
（2）猜想数列{a_n}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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10．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，且g（n）=
1
f(n)-1
[f（1）+f（2）+…十f（n-1）]．
（1）写出g（2），g（3），g（4）的值；
（2）归纳g（n）的值，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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