优优班--学霸训练营 > 知识点挑题
全部资源
          排序:
          最新 浏览

          共50条信息

            • 1．
              三个数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)，满足\(a_{1}=- \dfrac {11}{10}\)，\(b_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {|a_{n}-1|+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }-2a_{n}+5}}{2}\)，\(b_{n+1}=2b_{n}+1\)，\(c_{n}=a\;_{b_{n}}\)，\(n∈N*\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：当\(n\geqslant 2\)时，\(a_{n} > 1\)；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在集合\([a,b]\)，使得\(c_{n}∈[a,b]\)对任意\(n∈N*\)成立，若存在，求出\(b-a\)的最小值；若不存在，请说明理由；
              \((\)Ⅲ\()\)求证：\( \dfrac {2^{2}}{c_{2}}+ \dfrac {2^{3}}{c_{3}}+…+ \dfrac {2^{n}}{c_{n}}\leqslant 2^{n+1}+c_{n+1}-6(n∈N*,n\geqslant 2)\)．
              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 2．

              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且方程\(x^{2}-a_{n}x-a_{n}=0\)有一根为\(S_{n}-1(n∈N^{*}).\)

              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)；

              \((2)\)猜想数列\(\{S_{n}\}\)的通项公式，并给出证明．

              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 3． 已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．
              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 4．

              已知\(n∈N*\)，求证：\(1·2^{2}-2·3^{2}+…+(2n-1)·(2n)^{2}-2n·(2n+1)^{2}=-n(n+1)(4n+3)\)．

              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 5．
              试用数学归纳法证明\( \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{(n+1)^{2}} > \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{n+2}\)．
              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 6．

              设\(f(n)=1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{n}(n∈N^{*}).\)用数学归纳法证明：\(f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n\geqslant 2,n∈N^{*}).\)

              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 7．

              已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且满足：\(a_{n}S_{n+1}-a_{n+1}S_{n}+a_{n}-a_{n+1}=λa_{n}a_{n+1}(λ\neq 0,n∈N^{*}).\)

              \((1)\) 若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)成等比数列，求实数\(λ\)的值\(;\)

              \((2)\) 若\(λ=\dfrac{1}{2}\)，求\(S_{n}\)．

              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 8．

              用数学归纳法证明“\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+n\right)={2}^{n}·1·2...\left(2n-1\right) \)”\((n∈{N}_{+} )\)时，从 “\(n=k\)到\(n=k+1\)”时，左边应增添的式子是\((\)   \()\)

              A．\(2k+1\)         
              B．\(\dfrac{2k+2}{k+1} \)
              C．\(\dfrac{2k+1}{k+1} \)
              D．\(2\left(2k+1\right) \)
              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 9．

              用数学归纳法证明不等式“\(\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +…+\dfrac{1}{2n} > \dfrac{13}{24}(n > 2)\)”时的过程中，由\(n=k\)到\(n=k+1\)，\((k > 2)\)时，不等式的左边   \((\)    \()\)

              A．增加了一项\(\dfrac{1}{2\left(k+1\right)} \)
              B．增加了两项\(\dfrac{1}{2k+1} +\dfrac{1}{2\left(k+1\right)} \)
              C．增加了一项\(\dfrac{1}{2\left(k+1\right)} \)，又减少了一项\(\dfrac{1}{k+1} \)
              D．增加了两项\(\dfrac{1}{2k+1} +\dfrac{1}{2\left(k+1\right)} \)，又减少了一项\(\dfrac{1}{k+1} \)
              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            • 10．

              已知函数\(f(x)=\dfrac{3x}{ax+b}\)，\(f(1)=1\)，\(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}\)，数列\(\{x_{n})\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{3}{2}\)，\(x_{n+1}=f(x_{n}).\)

              \((1)\)求\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的值；

              \((2)\)求数列\(\{x_{n}\}\)的项公式；

              \((3)\)证明：\(\dfrac{{{x}_{1}}}{3}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{3}^{2}}}+...+\dfrac{{{x}_{n}}}{{{3}^{n}}} < \dfrac{3}{4}\)．

              难度：中等
              解析 收藏 试题篮
            0/40

            进入组卷