知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式（x+y）（
1
x
+
a
y
）≥9恒成立，则a的最小值为．

难度：中等

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2．函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）；
（3）不等式f（x）＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3
3
．
（1）求证：
x2
x+2y+3z
+
y2
y+2z+3x
+
z2
z+2x+3y
≥
3
2
．
（2）求
1
log3x+log3y
+
1
log3y+log3z
+
1
log3z+log3x
的最小值．

难度：中等

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4．已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是．

难度：中等

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5．点P在直径为4的球面上，过P作两两垂直的三条弦PA，PB，PC，用S₁、S₂、S₃分别表示△PBC、△PCA、△PAB的面积，则S₁+S₂+S₃的最大值是．

难度：中等

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6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：C（x）=
k
3x+5
．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式，并写f（x）=的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f（x）=最小？并求出最小总费用．

难度：中等

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7．已知函数f(x)=a|x|+
2
ax
(x∈R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若m＞2
2
，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

难度：中等

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8．（不等式选讲选做题）已知点P是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为，x²+y²+z²的最小值是．

难度：中等

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9．已知x，y∈R⁺，2x+y=6，则V=x²y的最大值为．

难度：中等

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10．已知x₁•x₂•x₃…x₂₀₀₆=1，且x₁，x₂，…，x₂₀₀₆都是正数，则（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₀₆）的最小值是．

难度：中等

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