知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+L+
1
n
（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞
n
2
时，f（2^k+1）-f（2^k）等于．

难度：中等

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2．若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（
1
x1
+
1
x2
）≥4，（x₁+x₂+x₃）（
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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3．设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n
，则f（k+1）-f（k）= ．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•…•（2n-1）”（n∈N₊）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是．

难度：中等

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5．求证：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a1=a，an+1=
1
2-an
．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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7．设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

难度：中等

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9．如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为Si，记f(n)=
n
i=1
Si，求证f(n)＜
1
6
.

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a1=
2
2
，an+1=
n+1
n+2
an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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