知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

若函数\(f(x)= \begin{cases} a^{x},x\geqslant 1 \\ (4- \dfrac {a}{2})x+2,x < 1\end{cases}\)且满足对任意的实数\(x_{1}\neq x_{2}\)都有\( \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} > 0\)成立，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((1,+∞)\)

B．\((1,8)\)

C．\((4,8)\)

D．\([4,8)\)

难度：较难

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2．

已知函数\(f(x)=x+\dfrac{a}{x}-4\)，\(g(x)=kx+3\)．
\((\)Ⅰ\()\)对任意的\(a\in [4,6]\)，函数\(\left| f(x) \right|\)在区间\([1,m]\)上的最大值为\(\left| f(x) \right|\)，试求实数\(m\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)对任意的\(a\in \left[ 1,2 \right]\)，若不等式\(\left| f(x{}_{1}) \right|-\left| f({{x}_{2}}) \right| < g({{x}_{1}})-g({{x}_{2}})\)任意\({{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 2,4 \right]\ \ ({{x}_{1}} < {{x}_{2}})\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

难度：较难

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3．

设函数\(f\left(x\right)=\begin{cases}{x}^{2}-2x+1,x\geqslant 1 \\ {\log }_{a}x,0 < x < 1\end{cases} (a∈R)\)，当\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上为单调函数时，\(a\)的取值范围为\(M\)；当存在\(b\)使得函数\(y=f(x)-b\)有两个不同的零点时，\(a\)的取值范围为\(N\)，则

A．\(M=(0,1)\)，\(N=(1,+∞)\)

B．\(M=(0,1)\)，\(N=(0,1)\)

C．\(M=(1,+∞)\)，\(N=(1,+∞)\)

D．\(M=(1,+∞)\)，\(N=(0,1)\)

难度：较难

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4．
某公司共有\(10\)条产品生产线，不超过\(5\)条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为\(1100\)元，超过\(5\)条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为\(800\)元，原生产线利润保持不变\(.\)未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共\(100\)元．用\(x\)表示每天正常工作的生产线条数，用\(y\)表示公司每天的纯利润．

\((\)Ⅰ\()\)写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式，并求出纯利润为\(7700\)元时工作的生产线条数．
\((\)Ⅱ\()\)为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取\(100\)件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数\(\overline{x}=14\)，标准差\(s=2\)，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值\(.\)为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为\(X\)，依据以下不等式评判．\((P\)表示对应事件的概率\()\)
\(①\)\(P\left( \overline{x}-s < X < \overline{x}+s \right)\geqslant 0.6826\)
\(②\)\(P\left( \overline{x}-2s < X < \overline{x}+2s \right)\geqslant 0.9544\)

\(③\)\(P\left( \overline{x}-3s < X < \overline{x}+3s \right)\geqslant 0.9974\)

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线\(.\)试判断该生产线是否需要检修．

难度：较难

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5．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午\(6\)点到中午\(12\)点，车辆通过该市某一路段的用时\(y(\)分钟\()\)与车辆进入该路段的时刻\(t\)之间的关系可近似地用如下函数给出：
\(y= \begin{cases} - \dfrac {1}{8}t^{3}- \dfrac {3}{4}t^{2}+36t- \dfrac {629}{4},6\leqslant t\leqslant 9 \\ \dfrac {1}{8}t+ \dfrac {59}{4},9\leqslant t\leqslant 10 \\ -3t^{2}+66t-345,10 < t\leqslant 12\end{cases}\)
求从上午\(6\)点到中午\(12\)点，通过该路段用时最多的时刻．

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6．
\((1)\)已知\(\cos \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\)，则\(\sin 2\alpha =\)_____．

\((2)\)已知\(\overrightarrow{a}=\left( m,3 \right)\)，\(\overrightarrow{b}=\left( -2,2 \right)\)，且\(\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)\bot \overrightarrow{b}\)，则\(m=\)_________．

\((3)\)已知函数\(f\left( x \right)=\begin{cases} & \ln x+b,x > 1 \\ & {{e}^{x}}-2,x\leqslant 1 \end{cases}\)，若\(f\left( e \right)=-3f\left( 0 \right)\)，则函数\(f\left( x \right)\)的值域为________．

\((4)\)斜率为\(\sqrt{3}\)的直线\(l\)经过抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的焦点\(F\)且与抛物线相交于\(A,B\)两点\((\)其中\(A\)点在第一象限\()\)，则\(\dfrac{\left| AF \right|}{\left| BF \right|}=\)________________．

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7．

已知函数\(f(x){=}\begin{cases} \overset{2^{x}{,}x{ > }0}{x{+}1{,}x{\leqslant }0} \end{cases}\)，则\(f({-}2){=}(\)　　\()\)

A．\({-}1\)

B．\(0\)

C．\(\dfrac{1}{4}\)

D．\(4\)

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8．
函数\(f\left( x \right)={ }\!\!\{\!\!{ }\begin{matrix} {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}+\dfrac{3}{4},x\geqslant 2 \\ {lo}{{{g}}_{2}}x,0 < x < 2 \\\end{matrix}{ }\)，若方程\(f\left( x \right)-k=0\)仅有一根，则实数\(k\)的取值范围是__________．

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9．
设函数\(f(x)= \begin{cases} \overset{x^{2}+2\;\;(x\leqslant 2)}{2x\;\;\;(x > 2)}\end{cases}\)，若\(f(x_{0})=8\)，则\(x_{0}=\) ______ ．

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10．

设函数\(f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{x}, & 0\leqslant x\leqslant a, \\ {{\log }_{3}}x, & x > a, \\ \end{array} \right.\) 其中\(a > 0\)．

\(①\) 若\(a=3\)，则\(f[f(9)]=\)____；

\(②\) 若函数\(y=f(x)-2\)有两个零点，则\(a\)的取值范围是______________．

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