知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
bx
ax2+c
，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．
（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若0＜a≤1，求证：当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

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2．已知函数f（x）=x²-1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有个．

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3．已知a＞0，b＞0，ab=8，则log₂a•log₂（2b）的最大值为．

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4．已知函数f（x）=2ax²+bx-a+1，其中a∈R，b∈R．
（Ⅰ）当a=b=1时，f（x）的零点为；
（Ⅱ）当b=
4
3
时，如果存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，试求a的取值范围；
（Ⅲ）如果对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立，试求a+b的最大值．

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5．已知x₁、x₂是函数f（x）=x²+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
n
i=0
xi=x0+x1+…+xn，设Tn=
n
r=0
x
n-r
1
x
r
2
（n∈N^*）．
（1）用m、t表示T₁、T₂；
（2）求证：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求证：对任意的n∈N^*，T_n∈Z．

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6．已知f（x）是二次函数，若f（x）的最小值为2，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[t，t+1]（t∈R）的最小值．

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7．已知函数f（x）=2^x（x∈R），
（1）解不等式f（x）-f（2x）＞16-9×2^x；
（2）若函数q（x）=f（x）-f（2x）-m在[-1，1]上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

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8．设f（n）=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
（n∈N），则f（n+1）-f（n）= ．

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9．已知f（x+1）=2x²+1，则f（x-1）= ．

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10．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），求函数g（x）的解析式．

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