知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）= $%20%5Csqrt%20%7Bx-3%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B7-x%7D%7D$ 的定义域为集合A，B={x|2＜x＜10}，C={x|a＜x＜2a+1}．
（1）求A∪B，（∁_RA）∩B
（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．

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2．设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；
（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

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3．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．
（1）求A∪B；
（2）求（∁_RA）∩B；
（3）若A∩C=A，求实数a的取值范围．

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4．设函数f （x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（2）若不等式f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范围．

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5．已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={y|y=log₃x， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B27%7D$ ＜x＜9}，C={x|x²+mx-6m＜0}
（1）求A∩B；
（2）若（A∪B）⊆C，求实数m取值范围．

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6．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

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7．定义闭集合S：若a，b∈S，则a+b∈S，a-b∈S．
（1）举一例，真包含于R的无限闭集合；
（2）求证：对任意两个闭集合S₁，S₂，S₁⊆R，S₂⊆R，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

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8．已知数列{a_n}的首项a₁=a，其中a∈N^*，an+1=
an
3
，an=3l，l∈N*
an+1，an≠3l，l∈N*
令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（I）若a₄是数列{a_n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（II）求证：{1，2，3}⊆A；
（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．

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9．对于集合M，定义函数fM(x)=
-1，x∈M
1，x∉M.
对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？

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10．对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的“不动点”；若f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B；
（2）求证：A⊆B；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅．

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