知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．形如y=x
1
xα
（x＞0）的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数--两边对x求导--代入还原；例如：y=x^x（x＞0），取对数lny=xlnx，对x求导
1
y
y′=lnx+1，代入还原y′=x^x（lnx+1）；给出下列命题：
①当α=1时，函数y=x
1
xα
（x＞0）的导函数是y′=
1-lnx
x2
x
1
x
（x＞0）；
②当α＞0时，函数y=x
1
xα
（x＞0）在（0，e
1
α
）上单增，在（e
1
α
，+∞）上单减；
③当b
1
α
＞e
1
e
时，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）有根；
④当α＜0时，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有两根，则e
1
αe
＜b＜1；
其中正确的命题是．

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2．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实数根；
③当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；
④存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为．

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3．把实数a，b，c，d排成
a c
b d
的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算(x，y)
a c
b d
=(ax+by，cx+dy)，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵
a c
b d
作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵
1 2
0 1
作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x²上的点在矩阵
1 0
0 1
的作用下将满足方程y=-x²；
③方程组
a11x+a12y=b1
a21x+a22y=b2
可表示成矩阵运算（x，y）
a11 a12
a21 a22
=（b₁，b₂）；
④若曲线x²+4xy+2y²=1在
1 a
b 1
作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为．（填上所有真命题的序号）

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4．在下列五个命题中，
①函数y=tan（x+
π
4
）的定义域是 {x|x≠
π
4
+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=
1
2
，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{
π
6
}；
③函数y=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）的最小正周期是π；
④直线x=
π
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
⑤函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上．

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5．下列四个命题
①“∃x∈R，x²-x+1≤1”的否定；
②“若x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“A＞30°“sinA＞
1
2
”的充分不必要条件；
④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ（k∈z）”．
其中真命题的序号是．（把真命题的序号都填上）

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6．给出以下五个命题：
①任意n∈N^*，（n²-5n+5）²=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，则
f(f(f(…)))
n个
=
x
1+nx2
．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则C_U（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正确命题的序号是．

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7．在下列命题中，正确的有个．
（1）函数y=tanx在定义域内是增函数；
（2）存在α∈R，使函数f（x）=cos（x+α）是奇函数；
（3）y=tanx的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；
（4）若
a
∥
b
且
b
∥
c
，则必有
a
∥
c
；
（5）函数f(x)=|sin(x+
π
3
)|在(
π
3
，
5π
6
)上是减函数．

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8．关于非零平面向量
a
，
b
，
c
．有下列命题：
①若
a
=（1，k），
b
=（-2，6），
a
∥b，则k=-3；  ②若|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，则
a
与
a
+
b
的夹角为60°；
③|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|⇔
a
与
b
的方向相同；    ④|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|⇔
a
与
b
的夹角为锐角；
⑤若
a
=（1，-3），
b
=（-2，4），
c
=（4，-6），则表示向量4
a
，3
b
-2
a
，
c
的有向线段首尾连接能构成三角形．
其中真命题的序号是    （将所有真命题的序号都填上）．

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9．（2011秋•丰台区校级期中）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁，BC₁的中点，有如下四个命题：
①EF⊥BB₁②EF⊥BD ③EF与CD异面 ④EF与A₁C₁异面
其中全部真命题的序号是．

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10．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，x²≥0的否定是“∃x∈R，x²≤0
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③抛物线x=ay²（a≠0）的焦点为（0，
1
2a
）
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是（-∞，
5
2
）．
其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）

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