知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=xlnx-
a
2
x²（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x₁，x₂，求证：
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2ae．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥
1
2
．

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3．已知函数f（x）=
mx
x2+n
（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=lnx+
a
x
，若对任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₂∈[1，e]，使得g（x₂）≤f（x₁）+
7
2
，求实数a的取值范围．

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4．函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x（a，b∈R）．
（1）当a=0，b=-3时．求函数f（x）的单调区间；
（2）若x=a是f（x）的极大值点．
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）当a为定值时．设x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x₄，使得x₄，x₁，x₂，x₃成等差数列？若存在求出b的值及相应的x₄，若不存在．说明理由．

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5．设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞
1
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）当b≤0时，求f（x）的极值点并判断是极大值还是极小值；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式
1
n2
＜ln（n+1）-lnn＜
1
n
都成立．

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6．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

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7．设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-
2
2
时，f （x）取得极大值
2
3
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

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8．已知函数，f（x）=x，g(x)=
3
8
x2+lnx+2．
（Ⅰ）求函数F（x）=g（x）-2•f（x）的极大值点与极小值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）设bn=f(n)
1
f(n+1)
（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

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9．已知函数f（x）=ax+（1-a）lnx+
1
x
，（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

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10．已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx（m，n∈R且m＜0），且x=1是f（x）的极值点．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当实数m发生变化时，是否存在实数m，使得函数y=f（x）（-1≤x≤1）的图象上任意一点的切线斜率总不小于3m？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）设-2≤m＜0，函数g（x）=ln（x+1）+
mx
x+2
（2≤x≤3），若对于任意x₁∈[2，3]，总存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，求m的取值范围．

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