知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=a(x-\dfrac{1}{x})-\ln x$，其中$a\in R$．

$($Ⅰ$)$若$a=1$，求曲线$y=f(x)$在点$P(1,f(1))$处的切线方程；

$($Ⅱ$)$若对任意$x\geqslant 1$，都有$f(x)\geqslant 0$恒成立，求实数$a$的取值范围．

难度：较难

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2．

已知函数$f(x){=}\dfrac{1{-}x}{{ax}}{+}\ln x$

$(1)$若函数$f(x)$在${[}1{,}{+∞})$上为增函数，求正实数$a$的取值范围；

$(2)$当$a{=}1$时，求函数$f(x)$在${[}\dfrac{1}{2}{,}2{]}$上的最值；

$(3)$对大于$1$的任意正整数$n$，试比较$\ln\dfrac{n}{n{-}1}$与$\dfrac{1}{n}$的大小关系．

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3．
已知函数$f\left( x \right)=\ln x+\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}-\left( a+1 \right)x\left( a\in R \right)$．

$(1)$当$a=3$时，求函数$y=f\left( x \right)$的单调增区间；

$(2)$若关于$x$的方程$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}$有两个不同实根，求实数$a$的取值范围；

$(3)$当$a > 0$时，若函数$y=f\left( x \right)$在区间$\left[ 1,e \right]$上的最小值为$-2$，求$a$的值。

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4．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D$ -ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y-10=0，求
（1）实数a，b的值；
（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．

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5．已知函数f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dax%5E%7B2%7D$ +bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

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6．设函数f（x）=-x³+ax²+bx+c的导数f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．

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7．已知f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +mx+ $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B2%7D$ （m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜ $%20%5Cfrac%20%7Bb-a%7D%7B2a%7D$ ．

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8．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

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9．已知函数f（x）=ax³-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）的极小值为1，求a的值．
（2）若对任意x∈（0，1]，都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范围．

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10．已知函数f（x）=
sinx
3 cosx
-x（0＜x＜
π
2
）．
（Ⅰ）求f′(
π
4
)；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在x∈(0，
π
2
)上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=
1
sin2x
-
1
x2
在x∈(0，
π
4
]的最大值．

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