知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\ln x\)．

\((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\(\left( e,+\infty \right)\)内有极值，求实数\(a\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，对任意\(t\in \left( 1,+\infty \right),s\in \left( 0,1 \right)\)，求证：\(f(t)-f(s) > e+2-\dfrac{1}{e}\)．

难度：较难

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3．

已知函数\(f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{8}-\ln x\)，\(x∈[1,3]\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最大值与最小值；

\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x) < 4-at\)对任意的\(x∈[1,3]\)，\(t∈[0,2]\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较难

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4．
已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-m\ln x\)．

\((1)\)若函数\(f(x)\)在\(( \dfrac{1}{2},+∞) \)上单调递增的，求实数\(m\)的取值范围；

\((2)\)当\(m=2\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值和最小值．

难度：较难

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5．
已知函数\(f(x)=(ax-2)e^{x}\)在\(x=1\)处取得极值．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在\([m,m+1]\)上的最小值；
\((\)Ⅲ\()\)求证：对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant e\)．

难度：较难

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6．
已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)在\(x=- \dfrac {2}{3}\)与\(x=1\)时都取得极值．
\((1)\)求\(a\)、\(b\)的值与函数\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)若对\(x∈[-1,2]\)，不等式\(f(x) < c^{2}\)恒成立，求\(c\)的取值范围．

难度：较难

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7．
已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {a}{x}\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(a > 0\)，试判断\(f(x)\)在定义域内的单调性；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值为\( \dfrac {3}{2}\)，求实数\(a\)的值；
\((\)Ⅲ\()\)若\(f(x) < x^{2}\)在\((1,+∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较难

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8．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层\(.\)某幢建筑物要建造可使用\(20\)年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为\(6\)万元\(.\)该建筑物每年的能源消耗费用\(C(\)单位：万元\()\)与隔热层厚度\(x(\)单位：\(cm)\)满足关系：\(C(x)= \dfrac {k}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant 10)\)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为\(8\)万元\(.\)设\(f(x)\)为隔热层建造费用与\(20\)年的能源消耗费用之和．
\((\)Ⅰ\()\)求\(k\)的值及\(f(x)\)的表达式．
\((\)Ⅱ\()\)隔热层修建多厚时，总费用\(f(x)\)达到最小，并求最小值．

难度：较难

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9．

若\(∀x > 0\)，\(4a > x^{2}-x^{3}\)恒成立，则\(a\)的取值范围为\((\)　　\()\)

A．\(( \dfrac {1}{27},+∞)\)

B．\(( \dfrac {4}{27},+∞)\)

C．\([ \dfrac {1}{27},+∞)\)

D．\([ \dfrac {4}{27},+∞)\)

难度：较难

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10．

已知函数\(f(x)=x+e^{x-a}\)，\(g(x)=\ln (x+2)-4e^{a-x}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在实数\(x_{0}\)，使\(f(x_{0})-g(x_{0})=3\)成立，则实数\(a\)的值为

A．\(\ln 2-1\)

B．\(-\ln 2-1\)

C．\(-\ln 2\)

D．\(\ln 2\)

难度：较难

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