知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n+1}=4a_{n}+2$，$a_{1}=1$．
$(1)b_{n}=a_{n+1}-2a_{n}$，求证数列$\{b_{n}\}$是等比数列；
$(2)$设$c_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}$，求证数列$\{c_{n}\}$是等差数列；
$(3)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$．

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2．设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0．证明：{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7Da_%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7Da_%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Ba_%7B1%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ．

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3．各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，单调增数列{b_n}的前n项和为S_n，a₄=b₃，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ （n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并说明理由．
（Ⅲ）证明{a_n}中任意三项不可能构成等差数列．

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4．
$\triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$．
$($Ⅰ$)$若$a$，$b$，$c$成等差数列，证明：$\sin A+\sin C=2\sin (A+C)$；
$($Ⅱ$)$若$a$，$b$，$c$成等比数列，且$c=2a$，求$\cos B$的值．

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5．
已知数列$\{a_{n}\}$是首项$a_{1}=4$，公比$q\neq 1$的等比数列，$S_{n}$是其前$n$项和，且$4a_{1}$，$a_{5}$，$-2a_{3}$成等差数列．
$(1)$求公比$q$的值；
$(2)$求$T_{n}=a_{2}+a_{4}+…+a_{2n}$的值．

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6．正整数数列{a_n}满足
Sn
an
=pn+q(p，q为常数)，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，q=0，求证：{a_n}是等差数列
（2）若数列{a_n}为等差数列，求p的值．
（3）证明：a₂₀₁₆=2016a₁的充要条件是p=
1
2
．

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7．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

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8．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

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9．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

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10．已知正项数列{a_n}，前n项和为S_n，且有
Sn
=λa_n+c．
（1）求证：λc≤
1
4
；
（2）若λ=1，c=0，求证：S_n≥（
n+1
2
）²；
（3）若2a₂=a₁+a₃，求证：{a_n}为等差数列．

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