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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=3^{n}(λ-n)-6\)，若数列\(\{a_{n}\}\)为递减数列，则\(λ\)的取值范围是________．

              难度：较难
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            • 2．

              设数列\(\{a_{n}\}(n=1,2,3…)\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=2a_{n}-a_{1}\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}+1\)，\(a_{3}\)成等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}…{{a}_{n}}={{(\sqrt{2})}^{bn}}(n\in {{N}^{*}})\)．

              \((1)\)求\(a_{n}\)与\(b_{n}\)；

              \((2)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}-\dfrac{1}{{{b}_{n}}}(n\in {{N}^{*}})\)，记数列\(\{c_{n})\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)求证：对任意\(n∈N^{*}\)，均有\(T_{n} > 0\)．

              \((3)\)设\({{d}_{n}}={{b}_{n}}-n(n\in {{N}^{*}})\)，\(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{1}}}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{2}}}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n+{{d}_{n}}}}(n\in {{N}^{*}},n\geqslant 2)\)，求\(f(n)\)的最小值．

              难度：较难
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            • 3．
              已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项为\({{a}_{n}}=\begin{cases} n+\dfrac{15}{n},n\leqslant 5 \\ a\ln n-\dfrac{1}{4},n > 5 \end{cases}\)，若\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的最小值为\(\dfrac{31}{4}\)，则实数\(a\)的取值范围是_________．
              难度：较难
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            • 4． 正整数数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \begin{cases} a_{n}-n,a_{n} > n \\ a_{n}+n,a_{n}\leqslant n.\end{cases}\)
              \((\)Ⅰ\()\)写出数列\(\{a_{n}\}\)的前\(5\)项；
              \((\)Ⅱ\()\)将数列\(\{a_{n}\}\)中所有值为\(1\)的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列\(\{n_{k}\}\)，试用\(n_{k}\)表示\(n_{k+1}(\)不必证明\()\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求最小的正整数\(n\)，使\(a_{n}=2013\)．
              难度：较难
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            • 5． 函数f（x）=sinx+x3．数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn，p，q为常数，且an∈（-
              π
              2
              ，
              π
              2
              ），若f（a10）＜0，则f（a1）+f（a2）+…+f（a18）+f（a19）取值（　　）
              A．恒为正数
              B．恒为负数
              C．恒为零
              D．可正可负
              难度：较难
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            • 6． 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
              .
              x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
              ．如：A=
              .
              2(-1)(3)(-2)(1)
              ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
              （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
              （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
              1
              1-ak
              ，k∈N*              ，bn=
              .
              2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
              （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
              （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
              .
              2(
              C
              1
              n
              )(
              C
              2
              n
              )(
              C
              3
              n
              )…(
              C
              n-1
              n
              )(
              C
              n
              n
              )
              ，求
              lim
              n→∞
              dn
              dn+1
              ．
              难度：较难
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            • 7． 设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式
              1
              a1a2
              +
              1
              a2a3
              +…+
              1
              anan+1
              =
              kn+b
              a1an+1
              对任意的n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
              （1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
              （2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
              （3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件a12+an+12≤M，试求Sn的最大值．
              难度：较难
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            • 8． 设函数f（x）=x（
              1
              2
              ）x+
              1
              x+1
              ，A0为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量
              an
              =
              n
              k=1
              Ak-1Ak
              ，向量
              i
              =（1，0），设θn为向量
              an
              与向量
              i
              的夹角，满足
              n
              k=1
              tanθk＜
              5
              3
              的最大整数n是（　　）
              A．2
              B．3
              C．4
              D．5
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            • 9． 已知正项数列{an}中a1=2，点(
              		an
              ，an+1)              在函数f(x)=
              1
              3
              x3+x              的导函数y=f'（x）图象上，数列{bn}中，点（bn，Sn）在直线y=-
              1
              2
              x+3              上，其中Sn是数列{bn}的前n项和（n∈N*）
              （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
              （Ⅱ）若数列{cn}满足cn=
              1
              2
              anbn              ，且数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜
              15
              4
              ．
              难度：较难
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            • 10． 已知实系数二次函数f（x）=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
              （1）若f（x）=2x2-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{an}满足an=g（an-1），问数列{an}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
              （2）求|a|+|b|+|c|的最大值．
              难度：较难
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