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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，对任意的n∈N*都有an+1=3an+3n+1-2n，记bn=
              an-2n
              3n
              （n∈N*）．
              （1）求证：数列{bn}为等差数列；
              （2）求Sn；
              （3）证明：存在k∈N*，使得
              an+1
              an
              ≤
              ak+1
              ak
              ．
              难度：较难
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            • 2． 已知各项均为正数的数列{an}满足：an+1=
              		an
              2
              +
              1
              2
              （n∈N+）．
              （1）若（a1-1）（a2-2）＜0，求a1的范围；
              （2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N+，都有an≤max{1，a1}．
              难度：较难
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            • 3． 设数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N*）．
              （1）当C=1时，
              ①设bn=an-n，若a1=
              3
              2
              ，a2=
              9
              4
              ．求实数A，B的值，并判定数列{bn}是否为等比数列；
              ②若数列{an}是等差数列，求
              B-1
              A
              的值；
              （2）当C=0时，若数列{an}是等差数列，a1=1，且∀n∈N*，λ-
              3
              n+1
              ≤
              n
              i=1
              		1+
              1
              a
              2
              i
              +
              1
              a
              2
              i+1
              ，求实数λ的取值范围．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列an=1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              n
              （n∈N*）
              （1）若a＞1，对于任意n≥2，不等式a2n-an＞
              7
              12
              （log（a+1）x-1ogax+1）恒成立，求x的取值范围；
              （2）求证：
              a
              2
              n
              +
              7
              4
              ＞2（a1+
              a2
              2
              +
              a3
              3
              +…+
              an
              n
              ）（n∈N*）
              难度：较难
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            • 5． 已知函数f （x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a1=f（d-1），a3=f （d+1），b1=f （q-1），b3=f （q+1），
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）若数列{an}的前n项和为Sn，
              ①求证：对任意的n≥2，（n∈N*）时  
              1
              S2
              +
              1
              S3
              +…+
              1
              Sn
              ＜1
              ②设数列{cn}对任意的自然数n均有
              c1
              b1
              +
              c2
              b2
              +
              c3
              b3
              +…+
              cn
              bn
              =Sn+1              成立，求c1+c2+c3+…+cn的值．
              难度：较难
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            • 6． 已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p为大于1的常数），记f（n）=
              1+
              C
              1
              n
              a1+
              C
              2
              n
              a2+…+
              C
              n
              n
              an
              2nSn
              ．
              （1）求an；
              （2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N*）．
              难度：较难
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            • 7． 设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=
              		3
              3
              x              相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，以（λn，0）表示Cn的圆心，已知{rn}为递增数列．
              （1）证明{rn}为等比数列（提示：
              rn
              λn
              =sinθ              ，其中θ为直线y=
              		3
              3
              x              的倾斜角）；
              （2）设r1=1，求数列{
              n
              rn
              }              的前n项和Sn；
              （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞
              9
              4
              -
              an
              rn
              成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 8． 设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
              1
              2
              +log2
              x
              1-x
              图象上任意两点，且
              OM
              =
              1
              2
              （
              OA
              +
              OB
              ），已知点M的横坐标为
              1
              2
              ，且有Sn=f（
              1
              n
              ）+f（
              2
              n
              ）+…+f（
              n-1
              n
              ），其中n∈N*且n≥2，
              （1）求点M的纵坐标值；
              （2）求s2，s3，s4及Sn；
              （3）已知an=
              1
              (Sn+1)(Sn+1+1)
              ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
              难度：较难
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            • 9． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
              难度：较难
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            • 10． 已知点集L={(x，y)|y=
              m
              •
              n
              }              ，其中
              m
              =(2x-b，1)，
              n
              =(1，b+1)              ，点列Pn（an，bn）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N+．
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）若f(n)=
              an(n=2k-1)
              bn(n=2k)
              (k∈N+)              ，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
              （3）求证：
              1
              |P1P2|2
              +
              1
              |P1P3|2
              +…+
              1
              |P1Pn|2
              ＜
              2
              5
              （n≥2，n∈N*）．
              难度：较难
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