知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）；数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
bn+1
2
}的前n和为S_n，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
．

难度：较难

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2．椭圆的焦点是F₁（-3，0）F₂（3，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则椭圆的方程为．

难度：较难

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3．如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A₁、A₂，…，A_n，…，和点B₁，B₂，…，B_n…，其中A1
1，1
，B1
1，0
，B2
2，0
．且|OAn|=|OAn-1|+
2
，|BnBn+1|=
1
2
|Bn-1Bn|（n=2，3，4…）．
（1）用n表示|OA_n|及点A_n的坐标；
（2）用n表示|B_nB_n+1|及点B_n的坐标；
（3）写出四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．

难度：较难

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4．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线C：y2=
1
2
x(y≥0)上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）求证：an=
n(n+1)
2
（n∈N^*）；
（3）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，对所有n∈N^*，b_n＜log₈t恒成立，求实数t的取值范围．

难度：较难

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5．过点P₀（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和S=
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
；
②求证：an＞1+
n
2
(n≥2，n∈N*)．

难度：较难

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6．已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使

2，

2成等比数列（O为坐标原点），则

•

的取值范围为（　　）

A．(0，

]

B．[-

，0)

C．(-

，0)

D．[-1，0）

难度：较难

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7．已知椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），右准线为l，l与x轴交于P点，直线AF交椭圆与点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：PF是∠APB的平分线；
（3）在l上任意取一点Q，求证：直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．

难度：较难

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8．椭圆

=1上有三点A（x₁，y₁）、B(4，

)、C（x₂，y₂）与右焦点F（4，0）的距离成等差数列，则x₁+x₂的值为（　　）

A．6

B．

C．8

D．无法确定

难度：较难

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9．过椭圆

=1的右焦点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）满足条件：|F₂A||F₂B||F₂C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是（　　）

A．(0，

)

B．(0，

)

C．(-

，

)

D．(-

，

)

难度：较难

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10．在正项数列{a_n}中，a₁=6，点An(an，
an+1
)在抛物线y²=x+1上；在数列{b_n}中，数列前n项的和为S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；n为奇数n为偶数
（Ⅱ）若f(n)=
an
bn
，问是否存在k∈N^*，使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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