\((1)\)已知向量\(a\)，\(b\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(|a|=2\)， \(|b |=1\)，则\(|a +2b |= \)______ ．

\((2).\)设\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases} & x+2y\leqslant 1 \\ & 2x+y\geqslant -1 \\ & x-y\leqslant 0 \end{cases}\)，则\(z=3x-2y\)的最小值为 ______ ．

\((3)\)已知\(α∈\left(0, \dfrac{π}{2}\right),\tan α=2 \)，则\(\cos \left(α- \dfrac{π}{4}\right) =\)______ ．

\((4)\)已知三棱锥\(S-ABC\)的所有顶点都在球\(O\)的球面上，\(SC\)是球\(O\)的直径，若平面\(SCA⊥\)平面\(SCB\)，\(SA=AC\)，\(SB=BC\)，三棱锥\(S-ABC\)的体积为\(9\)，则球\(O\)的表面积为______ ．

\((1)\)已知\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx\)，在\(x=1\)处有极值\(-2\)，则\(a+2b=\)________．

\((2)\)已知向量\(\overrightarrow{m}\)，\(\overrightarrow{n}\)分别是直线\(l\)的方向向量和平面\(α\)的法向量，\(\cos < \overrightarrow{m}\overrightarrow{n} > =-\dfrac{1}{2}\)，则\(l\)与\(α\)所成的角为________．

\((3)\)如图，在\(45^{\circ}\)的二面角\(α-l-β\)的棱上有两点\(A\)、\(B\)，点\(C\)、\(D\)分别在平面\(α\)、\(β\)内，且\(AC⊥AB\)，\(DB⊥AB\)，\(AC=BD=AB=1\)，则\(CD\)的长度为________．

\((4)\)若函数\(f(x)=\begin{cases} & \dfrac{1}{2}x+m,x < 1 \\ & x-\ln x,x\geqslant 1 \end{cases}\)在\(R\)上单调递增，则实数\(m\)的取值范围是______．

\((5)\)如图，圆形纸片的圆心为\(O\)，半径为\(5cm\)，该纸片上的等边三角形\(ABC\)的中心为\(O\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)为圆\(O\)上的点，\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)分别是以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)为折痕折起\(\triangle DBC\)，\(\triangle ECA\)，\(\triangle FAB\)，使得\(D\)、\(E\)、\(F\)重合，得到三棱锥当\(\triangle ABC\)的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值时的高为________\(cm\)．

已知\(α∈(0, \dfrac{π}{4}),β∈( \dfrac{π}{4}, \dfrac{π}{2}), \overrightarrow{a}=(2{\cos }^{2}α,2\sin α\cos α) \)，\(\overrightarrow{b}=(1+\sin β\cos β,1-2{\sin }^{2}β), \overrightarrow{c}=(1,0)· < \overrightarrow{a}, \overrightarrow{c} > ={θ}_{1}, < \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} > ={θ}_{2} ..\)

\((1)\)若\({θ}_{2}= \dfrac{π}{6} \)，求角\(β\)； 

\((2)\)若\({θ}_{2}-{θ}_{1}= \dfrac{π}{6} \)，求\(\sin (β-α)\)．

已知向量\(\overrightarrow{a}=\left( 4,3 \right),\overrightarrow{b}=\left( -1,2 \right)\)，求

\(⑴\)求\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角\(\theta \)的余弦值；

\(⑵\)若向量\(\overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)垂直，求\(\lambda \)的值．