知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．经过圆x²+y²=r²上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²．类比上述性质，可以得到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1类似的性质为：经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上一点P（x₀，y₀）的切线方程为．

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2．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（
1
4
）ⁿ，S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n= ．

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3．不等式（x+1）（x²-4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y₁=x+1和y₂=x²-4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则a+b= ．

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4．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB²=BD•BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有．

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5．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x²+y²=4相切，即圆x²+y²=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x²+y²=4”改为“曲线x=
4-y2
”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=
4-y2
上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是．

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6．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={
a
|
a
=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量
a1
=(x1，y1)，
a2
=(x2，y2)，
a1
＞
a2
当且仅当“x₁＞x₂”或“x₁=x₂且y₁＞y₂”．
按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
①若
e1
=(1，0)，
e2
=（0，1），
0
=(0，0)则
e1
＞
e2
＞
0
；
②若
a1
＞
a2
，
a2
＞
a3
，则
a1
＞
a3
；
③若
a1
＞
a2
，则对于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞
a2
+
a
；
④对于任意向量
a
＞
0
，
0
=(0，0)，若
a1
＞
a2
，则
a
•
a1
＞
a
•
a2
．
其中真命题的序号为．

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7．已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=
3
2
；sin²5°+sin²65°+sin²125°=
3
2
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题．

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8．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为
OP
= ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

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9．分段函数f（x）=
x，x＞0
-x，x≤0
可以表示为f（x）=|x|，同样分段函数f（x）=
x ，x≤3
3 ，x＞3
可以表示为f（x）=
1
2
（x+3-|x-3|），仿此，分段函数f（x）=
3 ，x＜3
x ，x≥3
可以表示为f（x）= ，分段函数f（x）=
a ，x≤a
x ，a＜x＜b
b ，x≥b
可以表示为f（x）= ．

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