知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用计算器求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；
（3）证明你写出的三角恒等式．

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2．（2014春•宜城市校级期中）将正奇数排成如下图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a_ij（i，j∈N^*）．例如a₄₂=15，若a_ij=2013，则i-j= ．

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3．设t∈R，[t]表示不超过t的最大整数．则在平面直角坐标系xOy中，满足[x]²+[y]²=13的点P（x，y）所围成的图形的面积为．

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4．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁，且对任意正整数n，{a_n}中小于等于n的项数恰为b_n；{b_n}中小于等于n的项数恰为a_n．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

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5．已知数列{a_n}：a₁，a₂，…，a_n（n≥3），令集合T={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，card（T）表示集合T中元素个数．若{a_n}满足：a_n+1-a_n=c（c为常数，n≥1），则card（T）= ．
（举例说明：若{a_n}：1，2，3，4，则T={3，4，5，6，7}，card（T）=5．）

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6．（2013秋•长乐市校级期中）将连续n²（n≥3）个正整数填入n×n方格中，使其每行．每列．每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n阶幻方数阵．记f（n）为n阶幻方数阵对角线上数的和，如图就是一个3阶幻方数阵，可知f（3）=15．若将等差数列：3，4，5，6，…的前16项填入4×4方格中，可得到一个4阶幻方数阵，则其对角线上的和f（4）等于．

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7．实数x，y，z满足x+y+z=0，且xyz＞0，设M=

，则（　　）

A．M＞0

B．M＜0

C．M=0

D．M可正可负

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8．将正整数从小到大排成一个数列，按以下规则删除一些项：先删除1，再删除1后面最邻近的2个连续偶数2，4，再删除4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9，再删除9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16，再删除16后面最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25，…，按此规则一直删除下去，将可得到一个新数列3，6，8，11，13，15，18，20，…，则这个新数列的第49项是（　　）

A．108

B．109

C．110

D．102

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9．设f（i，k）=i•2^（k-1）（i∈N^*，k∈N^*），如f（2，3）=2×2^（3-1）=8．对于正整数m，n，当m≥2，n≥2时，设g（i，n）=f（2⁰，n）+f（2¹，n）+…+f（2ⁱ，n ），S（m，n）=

m
i=1
（-1）ⁱg（i，n），则S（4，6）= ．

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10．设p是质数，且p²+71的不同正因数的个数不超过10个，求p．

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