知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos²x+
3
4
，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）与f（x）关于直线x=
π
4
对称，求g（x）在闭区间[-
π
4
，
π
2
]上的最大值和最小值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
3
sin2x-2sin2x+2，x∈R
（1）函数f（x）可有函数y=sinx做怎样的变换而得到；
（2）在给定的坐标系中，画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

难度：较难

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3．已知
a
=（
3
2
，cos2x），
b
=（sin2x，
1
2
）函数f（x）=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

难度：较难

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4．已知
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosφ，sinφ）（|φ|＜
π
2
）．函数f（x）=
a
•
b
且f（
π
3
-x）=f（x）．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间：
（2）将f（x）的图象向右平移
π
3
单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，
π
4
]上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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5．如图，已知扇形AOB是半径为2，圆心角为
π
6
的装饰材料，点P是弧AB上的动点，△PQR为扇形的内接三角形，且PQ∥OA，某设计师计划在该扇形装饰材料上彩绘，并以△PQR为主题着色板，记∠POA=θ．
（Ⅰ）将主题着色板的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）当角θ取何值时，主题着色板的面积S最大？并求出这个最大值．

难度：较难

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6．已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx），定义函数f（x）=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求出函数f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的值域．

难度：较难

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7．已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
4
的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为
6
-2
4
时，求角θ的值．

难度：较难

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8．设
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．

难度：较难

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9．已知O为坐标原点，
OA
=(2cos2x，1)，
OB
=(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），若y=
OA
•
OB
且y=f（x）的最大值为2．
（1）求a的值
（2）求f（x）图象的对称轴方程．

难度：较难

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10．已知函数
a
=（2sinx，2cos²x-1），
b
=（
3
cosx，1），f（x）=
a
•b
（x∈R），
b
=（
3
cosx，1），f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=
6
5
，x₀∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x₀的值．

难度：较难

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