知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的左、右焦点．
\((\)Ⅰ\()\)若\(P\)是第一象限内该椭圆上的一点，且\( \overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=- \dfrac {5}{4}\)，求点\(P\)的坐标；
\((\)Ⅱ\()\)设过定点\(M(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．

难度：较难

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2．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，长轴长等于圆\(R\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+(\)\(y\)\(-2)^{2}=4\)的直径，过点\(P\)\((0,1)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)\(.\)与圆\(R\)交于两点\(M\)，\(N\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程

\((2)\)求证：直线\(R\)\(A\)，\(R\)\(B\)的斜率之和等于零；

\((3)\)求\(｜\)\(AB\)\(｜·｜\)\(MN\)\(｜\)的取值范围．

难度：较难

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3．

已知椭圆\(C\)的中心在坐标原点，焦点在\(x\)轴上，离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过椭圆的左焦点\(F\)且倾斜角为\(60^{\circ}\)的直线与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\)相切．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(M\)，\(N\)两点\((M,N\)是左、右顶点\()\)，若以\(MN\)为直径的圆恰好过椭圆\(C\)的右顶点\(A.\)判断直线\(l\)是否过定点，若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．

难度：较难

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4．
已知\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)是过点\(P\)\((- \sqrt{2} ,0)\)的两条互相垂直的直线，且\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)与双曲线\(y\)\({\,\!}^{2}-\)\(x\)\({\,\!}^{2}=1\)各有两个交点，分别为\(A\)\({\,\!}_{1}\)、\(B\)\({\,\!}_{1}\)和\(A\)\({\,\!}_{2}\)、\(B\)\({\,\!}_{2}\)．

\((1)\)求\(l\)\({\,\!}_{1}\)的斜率\(k\)\({\,\!}_{1}\)的取值范围；\((2)\)若\(｜\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}｜= \sqrt{5} ｜\)\(A\)\({\,\!}_{2}\)\(B\)\({\,\!}_{2}｜\)，求\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)的方程．

难度：较难

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5．

已知\(A\)，\(F\)分别是椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左顶点和右焦点，点\(P\)为椭圆\(C\)上一动点，当\(PF⊥x\)轴时，\(|AF|=2|PF|\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的离心率；

\((2)\)若椭圆\(C\)上存在点\(Q\)，使得四边形\(AOPQ\)是平行四边形\((\)点\(P\)在第一象限\()\)，求直线\(AP\)与\(OQ\)的斜率之积；

\((3)\)记圆\(O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)为椭圆\(C\)的“关联圆”\(.\)若\(b=\sqrt{3}\)，过点\(P\)作椭圆\(C\)的“关联圆”的两条切线，切点为\(M\)，\(N\)，直线\(MN\)的横、纵截距分别为\(m\)，\(n\)，求证：\(\dfrac{3}{{{m}^{2}}}+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}\)为定值．

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6．如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

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7．已知函数f（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
．
（1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
（2）记P_n（n，lnn）（n∈N₊），线段P_nP_n+1的斜率为k_n，S_n=
1
k1
+
1
k2
+…+
1
kn
，求证：S_n＜
n(n+2)
2
．

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8．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中的轨迹E上的定点P（x₀，y₀）（y₀＞0）作两条直线分别与轨迹E相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

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9．已知点Q（x，y）位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q（x，y）的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x的范围；
（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C，若直线l过点M（1，0）且交曲线C于不同的两点A、B，
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点P满足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB
)，且
EP
.
AB
=0，其中点E的坐标为（x₀，0）试求x₀的取值范围．

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10．已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）²+y²=4上运动．
（1）求线段AB的中点M的轨迹；
（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．

难度：较难

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