知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知平面内两点$A(8,-6)$，$B(2,2)$．
$($Ⅰ$)$求$AB$的中垂线方程；

$($Ⅱ$)$求过$P(2,-3)$点且与直线$AB$平行的直线$l$的方程；

$($Ⅲ$)$一束光线从$B$点射向$($Ⅱ$)$中的直线$l$，若反射光线过点$A$，求反射光线所在的直线方程．

难度：较难

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2．
设直线$l_{1}$：$ax-by+4=0$，$l_{2}$：$(a-1)x+y+b=0$，求满足下列条件的$a$，$b$的值．

$(1)l_{1}⊥l_{2}$，且$l_{1}$过点$M(-3,-1)$；

$(2)l_{1}/\!/l_{2}$，且原点$O(0,0)$到$l_{1}$和$l_{2}$的距离相等

难度：较难

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3．已知直线$l_{1}$：$x{-}2y{+}3{=}0$与直线$l_{2}$：$2x{+}3y{-}8{=}0$的交点为$M$，
$(1)$求过点$M$且与直线$l_{3}$：$x{+}3y{+}1{=}0$平行的直线$l$的方程．
$(2)$求过点$M$且到点$P(0{,}4)$的距离为$1$的直线$l$的方程；

难度：较难

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4．
已知两直线 $l$${\,\!}_{1}$： $ax$$-$ $by$$+4=0$和 $l$${\,\!}_{2}$：$( $$a$$-1)$ $x$$+$ $y$$+$ $b$$=0$，求满足下列条件的 $a$， $b$的值．
$(1)$$l$${\,\!}_{1}⊥$$l$${\,\!}_{2}$，且直线$l$${\,\!}_{1}$过点$(-3,-1)$；

$(2)$$l$${\,\!}_{1}/\!/$$l$${\,\!}_{2}$，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

难度：较难

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6．

已知两条直线$l_{1}$：$(3+m)x+4y=5-3m$，$l_{2}$：$2x+(5+m)y=8$，$m$为何值时，$l_{1}$与$l_{2}$：

$(1)$相交

$(2)$平行

$(3)$垂直

难度：较难

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7．

过点$P(1,1)$，且与直线$6x-5y+3=0$平行的直线方程是________．

难度：较难

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8．
已知函数$f(x)=(a-b{{x}^{3}}){{e}^{x}}$，$g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，且函数$f(x)$的图象在点$(1,e)$处的切线与直线$2ex+y-1=0$平行．

$(1)$求$a,b$；

$(2)$求证：当$x\in (0,1)$时，$f(x)-g(x) > 2$．

难度：较难

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9．
已知椭圆$C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) $的离心率为$ \dfrac{ \sqrt{2}}{2} $，$A$，$B$分别为椭圆$C$的上、下顶点，$AB=2 \sqrt{2} $．

$(1)$求椭圆$C$的方程；

$(2)$设$M$，$N$是椭圆$C$上的两点$($异于点$A$，$B$ $)$，$\triangle OMN$的面积为$ \sqrt{2} $．

$①$若点$M$坐标为$(- \sqrt{2},1) $，求直线$MN$的方程；

$②$过点$A$作直线$AP/\!/OM$，交椭圆$C$于点$P$，求证：$BP/\!/ON$．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dax%5E%7B2%7D$ +bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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