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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\) \((a > 0,a\neq 1)\)的两个焦点分别是\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，直线\(l\)：\(y=kx+m(k,m∈R)\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点．
              \((1)\)若\(M\)为椭圆短轴上的一个顶点，且\(\triangle MF_{1}F_{2}\)是直角三角形，求\(a\)的值；
              \((2)\)若\(k=1\)，且\(\triangle OAB\)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形，求\(a\)与\(m\)满足的关系；
              \((3)\)若\(a=2\)，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {1}{4}\)，求证：\(\triangle OAB\)的面积为定值．
              难度：较难
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            • 2．
              已知直线\(l:x=t\) 与椭圆\(C:\ \ \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{2}=1\) 相交于\(A\) ，\(B\) 两点，\(M\) 是椭圆\(C\) 上一点．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(t=1\) 时，求\(\triangle \)\(MAB\) 面积的最大值；

              \((\)Ⅱ\()\)设直线\(MA\)和\(MB\)与\(x\)轴分别相交于点\(E\)，\(F\)，\(O\)为原点\(.\)证明：\(|OE|\cdot |OF|\)为定值．

              难度：较难
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            • 3．
              已知椭圆\(C:\ \ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\,(a > b > 0)\) 的两个焦点是\({{F}_{1}}\) ，\({{F}_{2}}\) ，点\(P(\sqrt{2},1)\) 在椭圆\(C\) 上，且\(|P{{F}_{1}}|+|P{{F}_{2}}|\ =4\) ．

              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)设点\(P\)关于\(x\)轴的对称点为\(Q\)，\(M\)是椭圆\(C\)上一点，直线\(MP\)和\(MQ\)与\(x\)轴分别相交于点\(E\)，\(F\)，\(O\)为原点\(.\)证明：\(|OE|\cdot |OF|\)为定值．

              难度：较难
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            • 4．
              椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(M\)在椭圆上，\(\triangle MF_{1}F_{2}\)的周长为\(2 \sqrt {5}+4\)，面积的最大值为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)直线\(y=kx(k > 0)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)，连接\(AF_{2}\)，\(BF_{2}\)并延长交椭圆\(C\)于\(D\)，\(E\)，连接\(DE.\)探索\(AB\)与\(DE\)的斜率之比是否为定值并说明理由．
              难度：较难
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            • 5．
              已知定直线\(l\)：\(y=x+3\)，定点\(A(2,1)\)，以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)椭圆的弦\(AP\)，\(AQ\)的中点分别为\(M\)，\(N\)，若\(MN\)平行于\(l\)，则\(OM\)，\(ON\)斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．
              难度：较难
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            • 6．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，过右焦点\(F_{2}(c,0)\)垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点且\(|AB|= \dfrac {4 \sqrt {3}}{3}\)，又过左焦点\(F_{1}(-c,0)\)任作直线\(l\)交椭圆于点\(M\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程
              \((2)\)椭圆\(C\)上两点\(A\)，\(B\)关于直线\(l\)对称，求\(\triangle AOB\)面积的最大值．
              难度：较难
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            • 7．

              设椭圆\(E:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1-{{a}^{2}}}\)的焦点在\(x\)轴上．

              \((1)\)若椭圆\(E\)的焦距为\(1\)，求椭圆\(E\)的方程；

              \((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\(E\)的左、右焦点，\(P\)是椭圆\(E\)上第一象限内的点，直线\(F_{2}P\)交\(y\)轴于点\(Q\)，并且\(F_{1}P⊥F_{1}Q\)，证明：当\(a\)变化时，点\(P\)在直线\(x+y-1=0\)上．

              难度：较难
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            • 8． 已知直线l：kx-y-2-k=0（k∈R）．
              （1）证明：直线过l定点；
              （2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；
              （3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
              难度：较难
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            • 9． 已知直线l：cos2θ•x+cos2θ•y-1=0（θ∈R），圆C：x2+y2=1，
              （Ⅰ） 求证：无论θ为何值，直线l恒过定点P；
              （Ⅱ） 若直线l与圆C的一个公共点为A，过坐标原点O作PA的垂线，垂足为M，求点M的横坐标的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              ，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
              		2
              ，离心率e=
              2
              		2
              3
              ．过直线l：x=
              a2
              c
              上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
              （1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
              （2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
              		2
              ，0              ）；
              （3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
              难度：较难
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