知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线$l_{1}$：$ \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0$为曲线$C_{1}$：$ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的一条切线，直线$l_{2}$：$x-2y-4=0$为曲线$C_{2}$：$ \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1$的一条切线．
$(1)$求曲线$C$${\,\!}_{1}$，$C$${\,\!}_{2}$的方程；

$(2)$作抛物线$y$${\,\!}^{2}$$=2px(p > 0)$交$C$${\,\!}_{1}$于$A$，$B$两点，交$C$${\,\!}_{2}$于$C$，$D$两点，当以$A$，$B$，$C$，$D$四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数$p$的值．

难度：较难

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2．设双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ，F₁，F₂为其左右两个焦点．
（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DM%7D$ 的取值范围；
（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为 $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B9%7D$ ，求动点P的轨迹方程．

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3．
已知双曲线$C$以$F_{1}(-2,0)$、$F_{2}(2,0)$为焦点，且过点$P(7,12)$．
$(1)$求双曲线$C$与其渐近线的方程；
$(2)$若斜率为$1$的直线$l$与双曲线$C$相交于$A$，$B$两点，且$ \overrightarrow{OA}⊥ \overrightarrow{OB}(O$为坐标原点$).$求直线$l$的方程．

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4．
已知$l$${\,\!}_{1}$、$l$${\,\!}_{2}$是过点$P$$(- \sqrt{2} ,0)$的两条互相垂直的直线，且$l$${\,\!}_{1}$、$l$${\,\!}_{2}$与双曲线$y$${\,\!}^{2}-$$x$${\,\!}^{2}=1$各有两个交点，分别为$A$${\,\!}_{1}$、$B$${\,\!}_{1}$和$A$${\,\!}_{2}$、$B$${\,\!}_{2}$．

$(1)$求$l$${\,\!}_{1}$的斜率$k$${\,\!}_{1}$的取值范围；$(2)$若$｜$$A$${\,\!}_{1}$$B$${\,\!}_{1}｜= \sqrt{5} ｜$$A$${\,\!}_{2}$$B$${\,\!}_{2}｜$，求$l$${\,\!}_{1}$、$l$${\,\!}_{2}$的方程．

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5．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

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6．如图，M(-2，0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
(Ⅰ)求点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设d为点P到直线l： $x%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的距离，若|PM|=2|PN|²，求 $%20%5Cfrac%20%7B%7CPM%7C%7D%7Bd%7D$ 的值．

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7．设双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-y%5E%7B2%7D$ =1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围：
(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B12%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ ．求a的值．

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8．已知双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3E0%2Cb%3E0%29$ 的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：B、P、N三点共线；
(3)求△BMN面积的最小值．

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9．已知两定点 $F_%7B1%7D%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ， $F_%7B2%7D%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ，满足条件 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B2%7D%7D%7C-%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPF_%7B1%7D%7D%7C$ =2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%7CAB%7C%7D%3D6%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 且曲线E上存在点C，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3Dm%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ 求m的值和△ABC的面积S．

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10．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(-3，0)，一条渐近线的方程是 $%20%5Csqrt%20%7B5%7Dx-2y%3D0$ ．
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B81%7D%7B2%7D$ ，求k的取值范围．

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