知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的两条渐近线方程为\(y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x\)，若顶点到渐近的距离为\(1\)，则双曲线方程为________．

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2．
过定点\(\left( 2,3 \right)\)的直线与双曲线\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4\)的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是___________．

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3．已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的一条渐近线被圆\((x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}\)截得弦长为\(2b(\)其中\(c\)为双曲线的半焦距\()\)，则该双曲线的离心率为( )

A．\(\sqrt{6}\)

B．\(\sqrt{3}\)

C．\(\sqrt{2}\)

D．\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

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4．
已知命题\(p:\dfrac{{{x}^{2}}}{m+3}+\dfrac{{{y}^{2}}}{7m-3}=1\)表示焦点在\(x\)轴上的双曲线；命题\(q:f(x)={{(5-2m)}^{x}}\)是增函数，若\(p\vee q\)为真，\(p\wedge q\)为假，求实数\(m\)的取值范围．

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5．
\((1)\)命题“存在 \(x > 1\)，\(x^{2}+(m-3)x+3-m < 0\)”的否定是 ______ ．

\((2)\)若命题“\(∃t∈R\)，\(t^{2}-2t-a < 0\)”是假命题，则实数\(a\)的取值范围是 ______ ．

\((3)\)过抛物线\(x^{2}=8y\)焦点\(F\)作直线\(l\)交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，若线段\(AB\)中点\(M\)的纵坐标为\(4\)，则\(|AB|= \)______ ．

\((4)\)已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{m+2}-\dfrac{{{y}^{2}}}{m+1}=1\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)，则\(m= \)______ ．

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6．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA=100m，BP=120m，BC=60m，∠APB=60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

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7．已知动点P与双曲线
x2
2
-
y2
3
=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知D（0，3），点M、N在动点P的轨迹上，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．

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8．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点．若△ABF₁是以B为顶点的等腰三角形，且△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，则双曲线的离心率为．

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9．已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（
2
，
3
）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

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10．已知：双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求：动点P的轨迹E的方程；
（2）若M是曲线E上的一个动点，求|MF₂|的最小值．并说明理由．

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