知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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2．曲线

=1与曲线

a2-m

b2-m

=1有相同的（　　）

A．长轴长

B．短轴长

C．焦距

D．离心率

难度：较难

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3．

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e_M，e_N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e_P，e_Q，则它们的大小关系是（　　）

A．e_M＜e_N＜e_Q＜e_P

B．e_N＜e_M＜e_P＜e_Q

C．e_P＜e_Q＜e_M＜e_N

D．e_Q＜e_N＜e_M＜e_P

难度：较难

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4．已知曲线E：
x2
m
+
y2
m-1
=1，
（1）若曲线E为双曲线，求实数m的取值范围；
（2）已知m=4，A（-1，0）和曲线C：（x-1）²+y²=16，点P是曲线C上任意一点，线段PA的垂直平分线为l，试判断l与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

难度：较难

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5．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：
x 3 -2 4
3
y -2
3
0 -4
1
2
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N，且满足
OM
⊥
ON
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．方
x|x|
16
+
y|y|
9
=-1的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①x在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程
y|y|
16
+
x|x|
9
=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（x，y-2），
b
=（kx，y+
2
）（k∈R），
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为T．求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状．

难度：较难

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8．方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
5
2
．
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

难度：较难

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