知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知k∈Z，若曲线x²+y²=k²与曲线xy=k无交点，则k= ．

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2．椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点(0，
3
)，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆W于C，D两点，且
AB
∥
CD
．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）求证：|AB|²=4|CD|．

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3．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4，求y₀的值．

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左焦点F（-
3
，0），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．

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5．已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．

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6．如图，已知四边形ABCD是椭圆3x²+4y²=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F₁，F₂．
（Ⅰ）若直线AC的方程为x-2y=0，求AC的长；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值．

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7．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

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8．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-
1
20
(1+k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）当k=2时，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以其中它？请说明理由．

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，左右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，△AF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：
|
OA
|•|
OB
|
|
AB
|
为定值．

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10．已知直线l：
x=-1-
2
2
t
y=2+
2
2
t
与抛物线y=x²交于A，B两点，求线段AB的长．

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