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          共50条信息

            • 1． 已知椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1(a＞b＞0)              的一个焦点与抛物线y2=4
              		3
              x              的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
              （Ⅰ）求椭圆的方程；
              （Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使
              PE
              •
              QE
              恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（
              1
              2
              ，0）的距离比它到y轴的距离大
              1
              2
              ．
              （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
              （Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆（x-1）2+y2=1的外切三角形，求△QBC面积的最小值．
              难度：较难
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            • 3． 巳知椭圆E：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）（a＞b＞0）以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
              1
              2

              （I）求椭圆E的方程；
              （II）若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x=-4相交于Q点，P是 椭圆E上一点且满足
              OP
              =
              OA
              +
              OB
              （其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得
              OP
              •
              TQ
              为定值？若存在，求出点T的坐标及
              OP
              •
              TQ
              的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 4． 若双曲线
              x2
              9
              -
              y2
              16
              =1渐近线上的一个动点P总在平面区域（x-m）2+y2≥16内，则实数m的取值范围是    ．
              难度：较难
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            • 5． 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=
              		2
              2
              ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
              （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
              （Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
              难度：较难
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            • 6． 已知P（x，y）是抛物线y2=-8x的准线与双曲线
              x2
              8
              -
              y2
              2
              =1              的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=
              y+2
              x
              的范围是    ．
              难度：较难
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            • 7． 如图，椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（
              		2
              +1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
              （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
              （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；
              （Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 已知点F(
              1
              2
              ，0)              ，动圆P经过点F，与直线x=-
              1
              2
              相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．
              （1）求曲线W的方程；
              （2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
              （3）当y1y2=-2m时，是否存在m∈R，使得
              OA
              •
              OB
              =-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 9． 设0＜θ＜
              π
              2
              ，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点．
              （Ⅰ）求θ的取值范围；
              （Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+
              an
              2
              与x轴正半轴相交于点A．设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
              （1）用a和n，表示f（n）；
              （2）求对所有n都有
              f(n)-1
              f(n)+1
              ≥
              n3
              n3+1
              成立的a的最小值；
              （3）当0＜a＜1时，比较
              n
              i=1
              1
              f(k)-f(2k)
              与
              27
              4
              •
              f(1)-f(n)
              f(0)-f(1)
              的大小，并说明理由．
              难度：较难
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