知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，P是抛物线C：y=
1
2
x2上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求过点P，Q，O的圆的方程．

难度：较难

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2．已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若
OM
+
ON
=
OQ
，若存在求k的值，若不存在则说明理由．

难度：较难

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3．已知抛物线x²=2py（p＞0）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，且满足
OA
+
OB
=2
OF
，
OA
•
OB
=-2
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点P（t，-1）作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与圆O交于C，D两点，直线PF与圆O交于Q，R两点，如图所示，四边形CRDQ的面积的取值范围．

难度：较难

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4．已知F（1，0）椭圆C₁的右焦点且F为双曲线C₂的右顶点，椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点是M（
2
3
3
，
3
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C₁及双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若点P是双曲线右支上的动点，直线PF交y轴于点Q，试问以线段PQ为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．

难度：较难

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5．已知P是曲线y=
2x
上的一个动点，过点P作圆（x-3）²+y²=1 的切线，切点分别为M，N，当|MN|的值最小时点P的坐标为．

难度：较难

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6．设n∈N⁺，圆C_n：x²+y²=R

2
n
（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=
x
的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用x_n表示R_n和a_n；
（2）若数列{x_n}满足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．
①求常数P的值使数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列；
②比较a_n与2•3ⁿ的大小．

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7．设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若圆心在曲线C上的动圆M过点A（0，2），试证明圆M与x轴必相交，且截x轴所得的弦长为定值．

难度：较难

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