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          共50条信息

            • 1．
              如图，椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)，直线\(l\)的方程为\(x=4\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)AB\)是经过右焦点\(F\)的任一弦\((\)不经过点\(P)\)，设直线\(AB\)与直线\(l\)相交于点\(M\)，记\(PA\)，\(PB\)，\(PM\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，\(k_{3}.\)问：是否存在常数\(λ\)，使得\(k_{1}+k_{2}=λk_{3}\)？若存在，求\(λ\)的值；若不存在，说明理由．
              ​
              难度：较难
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            • 2．
              已知抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点恰好是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a > 0)\)的右焦点，则椭圆方程为 ______ ．
              难度：较难
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过\((1,1)\)与\(( \dfrac { \sqrt {6}}{2}, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过原点的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，椭圆\(C\)上一点\(M\)满足\(|MA|=|MB|.\)求证：\( \dfrac {1}{|OA|^{2}}+ \dfrac {1}{|OB|^{2}}+ \dfrac {2}{|OM|^{2}}\)为定值．
              难度：较难
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            • 4．
              已知\(F_{1}\)、\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)的两焦点，经点\(F_{2}\)的直线交椭圆于点\(A\)、\(B\)，若\(|AB|=5\)，则\(|AF_{1}|+|BF_{1}|\)等于\((\)　　\()\)
              A．\(16\)
              B．\(11\)
              C．\(8\)
              D．\(3\)
              难度：较难
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            • 5．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，过椭圆右焦点\(F\)作两条互相垂直的弦\(AB\)与\(CD.\)当直线\(AB\)斜率为\(0\)时，\(|AB|+|CD|=3 \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)求由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点构成的四边形的面积的取值范围．
              难度：较难
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            • 6．
              椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(M\)在椭圆上，\(\triangle MF_{1}F_{2}\)的周长为\(2 \sqrt {5}+4\)，面积的最大值为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)直线\(y=kx(k > 0)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)，连接\(AF_{2}\)，\(BF_{2}\)并延长交椭圆\(C\)于\(D\)，\(E\)，连接\(DE.\)探索\(AB\)与\(DE\)的斜率之比是否为定值并说明理由．
              难度：较难
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            • 7．
              设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为定点，\(|F_{1}F_{2}|=6\)，动点\(M\)满足\(|MF_{1}|+|MF_{2}|=6\)，则动点\(M\)的轨迹是\((\)　　\()\)
              A．椭圆
              B．直线
              C．圆
              D．线段
              难度：较难
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            • 8．
              已知椭圆的中心在原点，左焦点为\(F_{1}(- \sqrt {3},0)\)，且右顶点为\(D(2,0).\)设点\(A\)的坐标是\((1, \dfrac {1}{2})\)
              \((1)\)求该椭圆的标准方程；
              \((2)\)若\(P\)是椭圆上的动点，求线段\(PA\)的中点\(M\)的轨迹方程．
              难度：较难
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            • 9．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为，点\(P\)是椭圆\(E\)上的一个动点，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的周长为\(6\)，且存在点\(P\)使得，\(\triangle PF_{1}F\)为正三角形．
              \((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((2)\)若\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)是椭圆\(E\)上不重合的四个点，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(F_{1}\)，且\( \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0.\)若\(AC\)的斜率为\( \sqrt {3}\)，求四边形\(ABCD\)的面积．
              难度：较难
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            • 10．
              如图，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点，且焦距为\(2 \sqrt {2}\)，动弦\(AB\)平行于\(x\)轴，且\(|F_{1}A|+|F_{1}B|=4\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若点\(P\)是椭圆\(C\)上异于点\(A\)，\(B\)的任意一点，且直线\(PA\)、\(PB\)分别与\(y\)轴交于点\(M\)、\(N\)，若\(MF_{2}\)、\(NF_{2}\)的斜率分别为\(k_{1}\)、\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}⋅k_{2}\)是定值．
              难度：较难
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