知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥$A-BCDE$中，$AC⊥$平面$BCDE$，$∠CDE=∠CBE=90^{\circ}$，$BC=CD=2$，$DE=BE=1$，$AC= \sqrt {2}$，$M$为$AE$的中点．
$(1)$求证：$BD⊥$平面$AEC$；
$(2)$求直线$MB$与平面$AEC$所成角的正弦值．

难度：较难

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2．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，平面$PAD⊥$平面$ABCD$，$PA⊥PD$，$PA=PD$，$AB⊥AD$，$AB=1$，$AD=2$，$AC=CD= \sqrt {5}$．
$(1)$求证：$PD⊥$平面$PAB$；
$(2)$求四面体$PACD$的体积．

难度：较难

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3．
如图，多面体$ABCDEF$中，四边形$ABCD$为菱形，且$∠DAB=60^{\circ}$，$EF/\!/AC$，$AD=2$，$EA=ED=EF= \sqrt {3}$．
$($Ⅰ$)$求证：$AD⊥BE$；
$($Ⅱ$)$若$BE= \sqrt {5}$，求三棱锥$F-BCD$的体积．

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4．
如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧棱$CC_{1}⊥$地面$ABC$，且$CC_{1}=2AC=2BC$，$AC⊥BC$，$D$是$AB$的中点，点$M$在侧棱$CC_{1}$上运动．
$(1)$当$M$是棱$CC_{1}$的中点时，求证：$CD/\!/$平面$MAB_{1}$；
$(2)$当直线$AM$与平面$ABC$所成的角的正切值为$ \dfrac {3}{2}$时，求二面角$A-MB_{1}-C_{1}$的余弦值．

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5．
如图，在三棱锥$P-ABC$中，平面$PAB⊥$平面$ABC$，$AB=6$，$BC=2 \sqrt {3}$，$AC=2 \sqrt {6}$，$D$，$E$为线段$AB$上的点，且$AD=2DB$，$PD⊥AC$．
$(1)$求证：$PD⊥$平面$ABC$；
$(2)$若$∠PAB= \dfrac {π}{4}$，求点$B$到平面$PAC$的距离．

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6．
如图，边长为$2$的正方形$ABCD$与等边三角形$ABE$所在的平面互相垂直，$M$，$N$分别是$DE$，$AB$的中点．
$(1)$证明：$MN/\!/$平面 $BCE$；
$(2)$求三棱锥$B-EMN$的体积．

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7．如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ a．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

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8．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

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9．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=
2
，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．

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10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

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