知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AC=2， $BC%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果M是棱PD上的点，N是棱AB上一点，AN=2NB，且三棱锥N-BMC的体积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BMD%7D$ 的值．

难度：较难

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2．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，S是B₁D₁的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：
（1）直线EG∥平面BDD₁B₁；
（2）平面EFG∥平面BDD₁B₁．

难度：较难

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3．
已知四棱锥$S-ABCD$的底面为平行四边形，且$SD⊥$平面$ABCD$，$AB=2AD=2SD$，$∠DCB=60^{\circ}$，$M$，$N$分别为$SB$，$SC$的中点，过$MN$作平面$MNPQ$分别与线段$CD$，$AB$相交于点$P$，$Q$，且$ \overrightarrow{AQ}=λ \overrightarrow{AB}$．
$(1)$当$λ= \dfrac {1}{2}$时，证明：平面$MNPQ/\!/$平面$SAD$；
$(2)$是否存在实数$λ$，使得二面角$M-PQ-B$为$60^{\circ}$？若存在，求出$λ$的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．
如图，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为平行四边形，$PA⊥$底面$ABCD$，且$PA=AB=AC=2$，$BC=2 \sqrt {2}$．
$($Ⅰ$)$求证：平面$PCD⊥$平面$PAC$；
$($Ⅱ$)$如果$M$是棱$PD$上的点，$N$是棱$AB$上一点，$AN=2NB$，且三棱锥$N-BMC$的体积为$ \dfrac {1}{6}$，求$ \dfrac {PM}{MD}$的值．

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5．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
（1）求证：BE∥平面DMF；
（2）求证：平面BDE∥平面MNG．

难度：较难

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6．（2016•雅安模拟）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧
BD
于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

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7．如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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