知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cos α -sin α
sin α cos α
对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=
0
1
2
1 0
所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

难度：较难

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2．曲线y²-x-2y=0在二阶矩阵M=
1 a
b 1
的作用下变换为曲线y²=x；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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3．已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A₁B₁C₁，其中B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
（1）求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点O按顺时针方向旋转30°后得到△A₂B₂C₂．求△A₂B₂C₂的面积．

难度：较难

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4．已知a，b∈R，若矩阵M=（
-1 a
b 3
）所对应的变换把直线l：x+y=1变换为自身．
（Ⅰ）求实数a，b
（Ⅱ）若向量e₁=（
1
1
），e₂=（
1
-1
），试判断e₁和e₂是否为M的特征向量，并证明之．

难度：较难

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5．曲线C₁：x²+y²=1在矩阵M=（
a 0
o b
）（a＞0，b＞0）的变换作用下得到曲线C₂：
x2
4
+y²=1．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及对应的一个特征向量．

难度：较难

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6．三题中任选两题作答
（1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=
1 1
2 1
，向量β=
1
2
，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，
π
2
)，若直线l过点P，且倾斜角为
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； ②试判定直线l和圆C的位置关系．
（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．

难度：较难

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7．（Ⅰ）已知矩阵A=
0 1
a 0
，矩阵B=
0 2
b 0
，直线l₁：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0，求直线l₂的方程．
（Ⅱ）求直线
x=-1+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长．

难度：较难

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