知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=
2
，曲线C₂的参数方程是
x=1
y=2tsinθ+
1
2
(t＞0，θ∈[
π
6
，
π
2
]，θ是参数）．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）求t的取值范围，使得C₁，C₂没有公共点．

难度：较难

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2．在极坐标系中，直线θ=
π
6
（ρ∈R）截圆ρ=2cos(θ-
π
6
)所得弦长是．

难度：较难

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3．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A，B的极坐标分别为（2，π），(2
2
，
π
4
)，曲线C的参数方程为
x=sinα
y=1+cos2α
(α为参数)．
（Ⅰ）求△AOB的面积；
（Ⅱ）求直线AB与曲线C的交点．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁为
x=acosφ
y=sinφ
（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C₁的交点为A，与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设C₁与y轴正半轴交点为D，当a=
π
4
时，设直线BD与曲线C₁的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

难度：较难

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5．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是
x=acosφ
y=
3
sinφ
（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是
x=3+t
y=-1-t
（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线C普通方程；
（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
2π
3
)，C(ρ3，θ+
4π
3
)在曲线C上，求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
1
|OC|2
的值．

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6．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为
x=4+5cost
y=5+5sint
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

难度：较难

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7．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与方程θ=

（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（　　）

A．（1，1）

B．(1，

)

C．(

，

)

D．(

，

)

难度：较难

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8．（1）已知点的极坐标分别为（3，
π
4
），（4，
π
2
），求它们的直角坐标；已知点的直角坐标分别为（3，
3
），（0，3），求它们的极坐标
（2）把下面的直角坐标方程化成极坐标方程；极坐标方程转化成直角坐标方程
①2x-3y-1=0
②ρ=2cosθ-4sinθ

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9．（1）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圆M的参数方程为
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范围，使f（x）为常数函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-a≤0有解，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．（选修4-4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=
π
4
与曲线
x=t+1
y=(t-1)2
（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．

难度：较难

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