知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．
（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；
（Ⅱ）证明：
a
+
b
+
c
≤
1
a
+
1
b
+
1
c
．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x³+
x2
2
[m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（
1
22
+1）+ln（
1
32
+1）+ln（
1
42
+1）+…+ln（
1
n2
+1）＜
2
3
（n≥2，n∈N^*）．

难度：较难

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4．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

难度：较难

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5．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，并说明等号成立的条件．

难度：较难

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6．已知x，y，z∈R⁺，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

难度：较难

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7．已数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-
1
2
a_n=
1
2n
，b_n=
1
tan
an
n2
•S_n是数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证；对任意n∈N^*．S_n＜（n-1）•2ⁿ+1．

难度：较难

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8．已知a，b，c＞0，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
．

难度：较难

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9．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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10．（1）设函数f（x）=|x-1|+
1
2
|x-3|，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
2
．

难度：较难

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