知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4
2
+6．

难度：中等

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2．已知a≥0，b≥0，求证：a⁶+b⁶≥ab（a⁴+b⁴）．

难度：中等

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3．（Ⅰ）设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．　证明：|
1
3
a+
1
6
b|＜
1
4
；
（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，关于x的不等式f（x）-log₂（a²-3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+
c2
2
≤
1
2
；
（Ⅱ）求证：
a2+c2
b
+
b2+a2
c
+
c2+b2
a
≥2．

难度：中等

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5．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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6． a²+b²+c²+x²+y²=16
21
，求证：（ax+by）²+（bx+cy）²≤2016．

难度：中等

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7．设x，y，z是正实数且满足x+y+z=1，求证：
xy
xy+yz
+
yz
yz+xz
+
xz
xz+xy
≤
2
2
．

难度：中等

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8．设a，b，c∈R⁺，且a+b+c=3，证明：
a4
b2+c
+
b4
c2+a
+
c4
a2+b
≥
3
2
．

难度：中等

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9．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
（1）（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9；
（2）
a2+b2
ab+1
≥
2
5
．

难度：中等

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10．已知0＜c＜b＜a，求证：a^ab^bc^c＞(abc)
a+b+c
3
．

难度：中等

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