知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：较难

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2．设函数f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2
3
的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
3
|a+b|≤|ab+3|．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x²-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
4
4×12-1
+
4×2
4×22-1
+…+
4×n
4×n2-1
＞ln（2n+1）（n∈N^*）

难度：较难

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4．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

难度：较难

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5．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，并说明等号成立的条件．

难度：较难

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6．（1）设实数t＞0，求证：（1+
2
t
）ln（1+t）＞2
（2）从编号1到100的100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽20次，设抽得的20个号码各不相同的概率为p，求证：ρ＜
1
e2
．

难度：较难

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7．有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M^-1对应的变换作用下所得△A₁B₁C₁的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

难度：较难

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