知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．
（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；
（Ⅱ）证明：
a
+
b
+
c
≤
1
a
+
1
b
+
1
c
．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

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3．函数f(x)=
|x+1|+|x+2|-a
．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设a，b∈（-1，1），证明
|a+b|
2
＜|1+
ab
4
|．

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4．已知a、b、c为正数，
（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；
（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

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5．已知正实数a，b，c满足
1
a
+
2
b
+
3
c
=1，求证：a+
b
2
+
c
3
≥9．

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6．设函数f（x）=
e2-1
x
，x≠0．其中e=2.71828…
（1）设h（x）=f（x）+
1
x
，求函数h（x）在[
1
2
，2]上的值域；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

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7．已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x³+
x2
2
[m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（
1
22
+1）+ln（
1
32
+1）+ln（
1
42
+1）+…+ln（
1
n2
+1）＜
2
3
（n≥2，n∈N^*）．

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8．已知x，y，z∈R⁺，求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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9．已数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-
1
2
a_n=
1
2n
，b_n=
1
tan
an
n2
•S_n是数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证；对任意n∈N^*．S_n＜（n-1）•2ⁿ+1．

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10．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

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