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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

              \((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

              难度：较难
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            • 2．
              已知\(x\)，\(y∈R^{+}\)，且\(x+y > 2\)，求证：\( \dfrac {1+x}{y}\)与\( \dfrac {1+y}{x}\)中至少有一个小于\(2\)．
              难度：较难
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            • 3．

              已知\(a_{n}= \sqrt{1×2}+ \sqrt{2×3}+ \sqrt{3×4}+…+ \sqrt{n(n+1)}(n∈N^{*})\)，求证：\( \dfrac{n(n+1)}{2} < a_{n} < \dfrac{n(n+2)}{2}\)．

              难度：较难
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            • 4． 已知\(a\)，\(b\)，\(c\)均为实数，且\(a=x^{2}-2y+ \dfrac {π}{2}\)，\(b=y^{2}-2z+ \dfrac {π}{3}\)，\(c=z^{2}-2x+ \dfrac {π}{6}\)，证明\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有一个大于\(0\)．
              难度：较难
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            • 5．

              现有\(\dfrac{n\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)}}{2}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)个给定的不同的数随机排成一个如图所示的三角形数阵：设\(M_{k}\)是第\(k\)行中的最大数，其中\(1\leqslant k\leqslant n\)，\(k∈N^{*}\)，记\(M_{1} < M_{2} < … < M_{n}\)的概率为\(P_{n}\)．


              \((1)\) 求\(P_{2}\)的值\(;\)

              \((2)\) 求证：\(P_{n} > \dfrac{C_{n{+}1}^{2}}{\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)!}}\)．

              难度：较难
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            • 6．

              已知各项都是正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{1}}{{12}{{a}_{n}}}(n\in {{N}^{{*}}})\)．

                  \((1)\)用数学归纳法证明：\(a_{2n+1} < a_{2n-1}\)；

              \((2)\)证明：\(\dfrac{1}{6}\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 1\)．

              难度：较难
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            • 7．

              已知直线\(l_{n}\)：\(y=x-\sqrt{2n}\)与圆\(C_{n}\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}=2\)\(a_{n}\)\(+\)\(n\)交于不同的两点\(A_{n}\)，\(B_{n}\)，\(n\)\(∈\)\(N\)\({\,\!}^{*}.\)数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)满足：\(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{4}|{{A}_{n}}{{B}_{n}}{{|}^{2}}\)．

              \((1)\)求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式\(a_{n}\)；

              \((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{4{{a}_{n}}}\)，求数列\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：较难
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            • 8．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且满足\(4n{S}_{n}={\left(n+1\right)}^{2}{a}_{n}\left(n∈N*\right) \)．\(m\)

              \((\)Ⅰ\()\)求\({a}_{n} \)；

              \((\)Ⅱ\()\)设\({b}_{n}= \dfrac{n}{{a}_{n}} \)，数列\(\{{b}_{n}\} \)的前\(n\)项和为\({T}_{n} \)，求证：\({T}_{n} < \dfrac{7}{4} \)．

              难度：较难
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            • 9． 用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．
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            • 10． 已知定义在R上的函数f（x）=x2+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x））．n≥2，n∈N*
              （1）若b=c=1，当n=1，2时比较fn（x）与x的大小关系．
              （2）若对任意的x∈R，都有使得f2012（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）2．
              难度：较难
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