知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=
π
3
时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

难度：较难

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2．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+
1
4
b²+
1
9
c²+m-1=0
（Ⅰ）求证：a²+
1
4
b²+
1
9
c²≥
(a+b+c)2
14

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．（1）已知a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=9，ax+by+cz≤t，求t 的最小值．
（2）求直线
x=2+t
y=
3
t
（t为参数）被双曲线x²-y²=1截得的弦长．

难度：较难

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4．已知函数f(x)=x+
1
x-1
，x＞1，且不等式f（x）≥a²+b²+c²对任意x＞1恒成立．
（Ⅰ）试求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）试求a+2b+2c的最大值．

难度：较难

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5．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z为实数，且x+2y+3z=
7
，
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）设|2t-1|=x²+y²+z²，求实数t的取值范围．

难度：较难

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6．已知a2+b2+c2=1，若a+b+
2
c≤|x+1|对任意实数a、b、c恒成立，求实数x的取值范围．

难度：较难

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7．若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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8．函数y=5
3x-1
+12
10-3x
的最大值为．

难度：较难

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9．已知x+4y+3z=2，则x²+y²+z²的最小值为．

难度：较难

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10．已知x²+4y²+kz²=36，（其中k＞0）且t=x+y+z的最大值是7，则 k= ．

难度：较难

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