设\(A({{x}_{1}},f\left( {{x}_{1}} \right))\)，\(B({{x}_{2}},f\left( {{x}_{2}} \right))\)是函数\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}+{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x}{1-x} \right)\)的图象上的任意两点．

\((1)\)当\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\)时，求\(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)\)的值；

\((2)\)设\({{S}_{n}}=f\left( \dfrac{1}{n+1} \right)+f\left( \dfrac{2}{n+1} \right)+f\left( \dfrac{3}{n+1} \right)+\cdots \cdots f\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)+f\left( \dfrac{n}{n+1} \right)\)，其中\(n\in {{N}^{*}}\)，求\({{S}_{n}}\)；

\((3)\)对应\((2)\)中\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{n}}={{\left( \dfrac{1}{{{S}_{n}}+1} \right)}^{2}}\)，其中\(n\in {{N}^{*}}\)，设\({{T}_{n}}\)为数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求证\(\dfrac{4}{9}\leqslant {{T}_{n}} < \dfrac{5}{3}\)．

若\(a=\log _{4}5\)，则\(2^{a}+2^{-a}=\)________．

计算下列各式的值：

\((1)2{{\log }_{3}}2-{{\log }_{3}}\dfrac{32}{9}+{{\log }_{3}}8-{{25}^{{{\log }_{5}}3}}\)．

\((2){{[{{({{0.064}^{\frac{1}{5}}})}^{-2.5}}]}^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}}-{{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}^{0}}\)．

若正数\(a,b\)满足\(2+\log _{2}^{a}=3+\log _{3}^{b}=\log _{6}^{\left( a+b \right)}\)，则\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) 的值为

函数\(h(x)={{2}^{x}}+k\cdot {{2}^{-x}}\)是\(R\)上的偶函数，\(f(x)={{\log }_{2}}h(x)\)

\((\)Ⅰ\()\)求实数\(k\)的值，并证明函数\(y=h(x)\)在区间\([0,+\infty )\)上是增函数

\((\)Ⅱ\()\)若\(f(2{{t}^{2}}+1) < f({{t}^{2}}-2t+1)\)，求实数\(t\)的取值范围；

\((\)Ⅲ\()\)设函数\(g(x)={{\log }_{2}}(a\cdot {{2}^{x}}-\dfrac{4}{3}a)\)，其中\(a > 0\)，若函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的图像有且只有一个公共点，求实数\(a\)的取值范围．

在\(\triangle ABC\)中，若\(\lg \sin A-\lg \cos B-\lg \sin C=\lg 2\)，则\(\triangle ABC\)的形状是(    )