设二次函数\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)，函数\(F(x)=f(x)-x\)的两个零点为\(m\)，\(n(m < n)\)．

\((1)\)若\(m=-1\)，\(n=2\)，求不等式\(F(x) > 0\)的解集；

\((2)\)若\(a > 0\)，且\(0 < x < m < n < \dfrac{{1}}{a}\)，比较\(f(x)\)与\(m\)的大小．

已知函数\(f(x)= \dfrac{{x}^{2}+ax+a}{x},且a < 1 \)

\((1)\)当\(x∈[1,+∞) \)，时判断\(f(x)\)的单调性并证明；

\((2)\)设函数\(g(x)=x·f(x)+|{x}^{2}-1|+(k-a)x-a,k \)为常数\(.\)若关于\(x\)的方程\(g\)\((\)\(x\)\()=0\)在\((0,2)\)上有两个解\(x\)\({\,\!}_{1}\)，\(x\)\({\,\!}_{2}\)，求\(k\)的取值范围，并比较\( \dfrac{1}{{x}_{1}}+ \dfrac{1}{{x}_{2}} \)与\(4\)的大小．

设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且对任意\(a\)、\(b\in R\)，当\(a+b\ne 0\)时，都有\(\dfrac{f(a)+f(b)}{a+b} > 0\)．

\((1)\)若\(a > b\)，试比较\(f(a)\)与\(f(b)\)的大小关系；

\((2)\)若\(f({{9}^{x}}-2\cdot {{3}^{x}})+f(2\cdot {{9}^{x}}-k) > 0\)对任意\(x\in [0,+\infty )\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

已知函数\(g(x)=x\sin θ-\ln x-\sin θ\)在\([1,+∞)\)单调递增，其中\(θ∈(0,π)\)．

\((1)\)求\(θ\)的值；

\((2)\)若\(f(x)=g(x)+\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}}\)，当\(x∈[1,2]\)时，试比较\(f(x)\)与\(f{{'}}(x)+\dfrac{1}{2}\)的大小关系\((\)其中\(f{{'}}(x)\)是\(f(x)\)的导函数\()\)，请写出详细的推理过程；

\((3)\)当\(x\geqslant 0\)时，\(e^{x}-x-1\geqslant kg(x+1)\)恒成立，求\(k\)的取值范围．

设不等式\(0 < \left| x+2 \right|-\left| 1-x \right| < 2\)的解集为\(M\)，\(a\)，\(b∈M\)

\((1)\)证明：\(\left| a+\dfrac{1}{2}b \right| < \dfrac{3}{4}\)；

\((2)\)比较\(|4ab-1|\)与\(2|b-a|\)的大小，并说明理由．

选修\(4-4\) 不等式选讲

 设不等式\(-2 < \left|x-1\right|-\left|x+2\right| < 0 \)的解集为\(M \)，且\(a,b∈M \)

\((1)\)  证明：\(\left| \dfrac{1}{3}a+ \dfrac{1}{6}b\right| < \dfrac{1}{4} \)； \((2)\)比较\(\left|1-4ab\right| \)与\(2\left|a-b\right| \)的大小，并说明理由。