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          共50条信息

            • 1．

              设函数\(f\left( x \right)={\ln }x\)，若\(a,b\)是两个不相等的正数且\(p=f\left( \sqrt{ab} \right),q=f\left( \dfrac{a+b}{2} \right)\) \(r=\dfrac{1}{2}f\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2} \right)\) \(v=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( a \right)+f\left( b \right) \right]\)，则下列关系式中正确的是\((\)    \()\)

              A．\(p=q < v < r\)
              B．\(p=v < q < r\)
              C．\(p=v < r < q\)
              D．\(p < v < q < r\)
              难度：难
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            • 2．

              已知函数\(f\left(x\right)= \dfrac{{x}^{2}+kx+1}{{x}^{2}+1} \)。

              \((\)Ⅰ\()\)若当\(x > 0 \)时，\(f\left(x\right) \)的最小值为\(-1\)，求实数\(k\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)若对任意的\({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}∈\left(0,+∞\right) \)，均存在以\(f\left({x}_{1}\right),f\left({x}_{2}\right),f\left({x}_{3}\right) \)为三边边长的三角形，求实数\(k\)的取值范围。

              难度：难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a\)为实常数\()\)．
              \((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；
              \((2)\)当\(x∈[1,e]\)时，讨论方程\(f(x)=0\)根的个数．
              \((3)\)若\(a > 0\)，且对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,e]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant | \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|\)，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 4．
              已知扇形的圆心角为\(α\)，所在圆的半径为\(r\)．
              \((1)\)若\(α=120^{\circ}\)，\(r=6\)，求扇形的弧长．
              \((2)\)若扇形的周长为\(24\)，当\(α\)为多少弧度时，该扇形面积\(S\)最大？并求出最大面积．
              难度：难
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            • 5．
              \((1)\)求证：当\(a\)、\(b\)、\(c\)为正数时，\((a+b+c)( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c})\geqslant 9\)
              \((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-1\)，\(b=2x+2\)，求证\(a\)，\(b\)中至少有一个不少于\(0\)．
              难度：难
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            • 6．
              已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，用分析法证明：\( \dfrac {a+b}{2}\geqslant \dfrac {2ab}{a+b}\)．
              难度：难
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            • 7．
              在下列各函数中，最小值等于\(2\)的函数是\((\)　　\()\)
              A．\(y=x+ \dfrac {1}{x}\)
              B．\(y=\cos x+ \dfrac {1}{\cos x}(0 < x < \dfrac {π}{2})\)
              C．\(y= \dfrac {x^{2}+3}{ \sqrt {x^{2}+2}}\)
              D．\(y=e^{x}+ \dfrac {4}{e^{x}}-2\)
              难度：难
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            • 8．
              已知 \(a\)， \(b\)， \(c\)\(∈R^{*}\)，证明：
              \((1)( \)\(a\)\(+\) \(b\)\(+\) \(c\)\()(\) \(a\)\({\,\!}^{2}+\) \(b\)\({\,\!}^{2}+\) \(c\)\({\,\!}^{2})\leqslant 3(\) \(a\)\({\,\!}^{3}+\) \(b\)\({\,\!}^{3}+\) \(c\)\({\,\!}^{3})\)；
              \((2) \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geqslant \dfrac{3}{2} \)．
              难度：难
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            • 9．

              已知函数\(f(x)=\ln (x-1)-k(x-1)+1\)．

              \((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间；

              \((2)\)若\(f(x)\leqslant 0\)恒成立，试确定实数\(k\)的取值范围；

              \((3)\)证明\( \dfrac{\ln 2}{3}+ \dfrac{\ln 3}{4}+ \dfrac{\ln 4}{5}+··· \dfrac{\ln n}{n+1} < \dfrac{n\left(n-1\right)}{4}\left(n > 0\right),n∈{N}^{*} \)

              难度：难
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            • 10．

              \((1)\)已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=2\)，以极点为原点，极轴为\(x\)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+t \\ y=2+ \sqrt{3}t\end{cases} \) \((t\)为参数\()\)．

              \(①\)写出直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标方程；

              \(②\)设曲线\(C\)经过伸缩变换\(\begin{cases}x{{'}}=x \\ y{{'}}= \dfrac{1}{2}y\end{cases} \)得到曲线\(C{{'}} \)，设       \(M(x,y)\)为\(C{{'}} \)上任意一点，

              求\({x}^{2}- \sqrt{3}xy+2{y}^{2} \)的最小值，并求相应的点\(M\)的坐标．

              \((2)\)设函数\(f(x)=\left|x-a\right| \)．

              \(①\)当\(a=2\)时，解不等式\(f(x)\geqslant 7-|x-1|\)；

              \(②\)若\(f(x)\leqslant 2\)的解集为\([-1,3]\)，\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{2n}=a(m > 0,n > 0) \)，求证：\(m+4n\geqslant 2 \sqrt{2}+3 \)．

              难度：难
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