已知函数\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)，\(g\left( x \right)=a\ln x\)．

\((1)\) 若曲线\(y=f\left( x \right)-g\left( x \right)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(6x-2y-5=0\)，求实数\(a\)的值\(;\)

\((2)\) 设\(h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\)，若对任意两个不相等的正数\({{x}_{1}},{{x}_{2}},\)都有\(\dfrac{h({{x}_{1}})-h({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} > 2\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(;\)

\((3)\) 若在\(\left[ 1,e \right]\)上存在一点\({{x}_{0}}\)，使得\({f}{{{'}}}({{x}_{0}})+\dfrac{1}{{f}{{{'}}}({{x}_{0}})} < g({{x}_{0}})-{g}{{{'}}}({{x}_{0}})\)成立，求\(a\)的取值范围．

\((1)\)已知向量\( \overrightarrow{a} =(m,1)\)，\( \overrightarrow{b} =(4-n,2)\)，\(m > 0\)，\(n > 0\)，若\( \overrightarrow{a} /\!/ \overrightarrow{b} \)，则\( \dfrac{1}{m} + \dfrac{8}{n} \)的最小值________\(.\)   

\((2)\)点\(P(x_{0}\)  ， \(y_{0})\)是曲线\(y=3\ln x+x+k(k∈R)\)图象上一个定点，过点\(P\)的切线方程为\(4x-y-1=0\)，则实数\(k\)的值为________．

\((3)\) 在等腰梯形\(ABCD\)中，\(AB=2DC=2\)，\(∠DAB=60\)，\(E\)为\(AB\)的中点，将\(∆ADE\)与\(∆BEC\)分布沿\(ED\)、\(EC\)向上折起，使\(A\)、\(B\)重合于点\(P\)，则三棱锥\(P-DCE\)的外接球的体积为________．

\((4)\)已知任何三次函数\(f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d(a\ne 0)\)都有对称中心\(M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)记函数\(f(x)\)的导函数为\({{f}^{{{{'}}}}}(x),{{f}^{{{{'}}}}}(x)\)的导函数为\({{f}^{{{{'}}}{{{'}}}}}(x)\)，则有\({{f}^{{{{'}}}{{{'}}}}}({{x}_{0}})=0,f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\)则\(f(\dfrac{1}{2016})+f(\dfrac{2}{2016})+f\left( \dfrac{3}{2016} \right)+\cdots +f(\dfrac{4031}{2016})=\)_______\(.\)   

已知函数\(f(x)=e^{x-1}+a\)，函数\(g(x)=ax+\ln x\)，\(a∈R\)．

\((\)Ⅰ\()\)若曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=x\)相切，求\(a\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，证明：\(f(x)\geqslant g(x)+1\)；

\((\)Ⅲ\()\)若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像有且仅有一个公共点\(P(x_{0},y_{0})\)，证明：\(x_{0} < 2\)．

函数\(y=f(x) \)图象上不同两点\(A({x}_{1},{y}_{1}) \)，\(B({x}_{2,}{y}_{2}) \)处切线的斜率分别是\({k}_{A},{k}_{B} \)，规定\(φ(A,B)= \dfrac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|} (|AB| \)为线段\(AB \)的长度\()\)叫做曲线\(y=f(x) \)在点\(A \)与\(B \)之间的“弯曲度”，给出以下命题：

\(①\)函数\(y={x}^{3}-{x}^{2}+1 \)图象上两点\(A \)与\(B \)的横坐标分别为\(1\)和\(2\)，则\(φ(A,B) > \sqrt{3} \)；

\(②\)存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

\(③\)设点\(A \)，\(B \)是抛物线\(y={x}^{2}+1 \)上不同的两点，则\(φ(A,B)\leqslant 2 \)；

\(④\)设曲线\(y={e}^{x} (e \)是自然对数的底数\()\)上不同两点\(A({x}_{1},{y}_{1}) \)，\(B({x}_{2,}{y}_{2}) \)，且\({x}_{1}-{x}_{2}=1 \)，若\(t·φ(A,B) < 1 \)恒成立，则实数的取值范围是\(\left(-∞,1\right) \)．其中真命题的序号为__________\(.(\)将所有真命题的序号都填上\()\)

\((1)\)在复平面内，复数\(z=-2i+1\)对应的点到原点的距离是________．

\((2)\)已知\({{2}^{a}}={{5}^{b}}=\sqrt{10}\)则\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\_\_\_\_\_\_\_\_\)．

\((3)\)设函数\(f(x)=g(x)+x^{2}\)，曲线\(y=g(x)\)在点\((1,g(1))\)处的切线方程为\(9x+y-1=0\)，则曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为________．

\((4)\)已知函数\(f(x)=\sin ^{2}x+a\cos x+a\)，\(a∈R.\)若对于区间\([0,\dfrac{\pi }{2} ]\)上的任意一个\(x\)，都有\(f(x)\leqslant 1\)成立，则\(a\)的取值范围是________．

已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(ax\)\({\,\!}^{2}-(2\)\(a\)\(+1)\)\(x\)\(+2\ln \) \(x\)\((\)\(a\)\(∈R)\)．

\((1)\)若曲线\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)在\(x\)\(=1\)和\(x\)\(=3\)处的切线互相平行，求\(a\)的值；

\((2)\)求\(f\)\((\)\(x\)\()\)的单调区间；

\((3)\)设\(g\)\((\)\(x\)\()=\)\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(x\)，若对任意\(x\)\({\,\!}_{1}∈(0,2]\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{2}∈(0,2]\)，使得\(f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1}) < \)\(g\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{2})\)，求\(a\)的取值范围．