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          共50条信息

            • 1．

              已知函数\(f(x)=\dfrac{ax+b}{x}e^{x}\)，\(a\)，\(b\in R\)，且\(a > 0\)．

              \((1)\)若\(a=2\)，\(b=1\)，求函数\(f(x)\)的极值；

              \((2)\)设\(g(x)=a (x-1)e^{x}-f(x).\)当\(a=1\)时，对任意\(x\in \) \((0,+∞)\)，都有\(g(x)\geqslant 1\)成立，求\(b\)的最大值；

              难度：难
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            • 2．

              某淘宝商家经销某种商品，已知该商品的进价为\(6\)元\(/\)件，物流费、管理费共为\(m\)元\(/\)件\((1\leqslant m\leqslant 3)\)，根据成本测算及有关部门的规定，每件该商品的售价\(x(\)单位：元\()\)必须满足\(10\leqslant x\leqslant 12.\)市场调查显示，当每件售价为\(x\)元\((10\leqslant x\leqslant 12)\)时，该商品一年的销售量预计为\({{(15-x)}^{2}}\)万件．

              \((1)\) 求该商家经销该商品一年所得的利润\(P(\)万元\()\)与每件商品的售价\(x\)的函数关系式；

              \((2)\) 当\(x\)为多少元时，该商家一年的利润\(P\)最大，并求出\(P\)的最大值\(Q(m).\)

              难度：难
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            • 3．

              设\(f(x)=\dfrac{(4x+a)\ln x}{3x+1}\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线与直线\(x+y+1=0\)垂直．

              \((1)\)求\(a\)的值；

              \((2)\)若对于任意的\(x∈\left[1,+∞\right],f\left(x\right)\leqslant m\left(x-1\right) \)恒成立，求\(m\)的取值范围．

              难度：难
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            • 4．

              设\(f(x)= \dfrac{a}{x}+x\ln x\)，\(g(x)=x^{3}-x^{2}-3\)．

              \((1)\)如果存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)使得\(g(x_{1})-g(x_{2})\geqslant M\)成立，求满足上述条件的最大整数\(M\)；

              \((2)\)如果对于任意的\(s\)，\(t∈\left[ \left. \dfrac{1}{2},2 \right. \right]\)，都有\(f(s)\geqslant g(t)\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

              难度：难
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            • 5． 某单位建造一问地面面积为\(12m^{2}\)的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度\(x\)不得超过\(5m.\)房屋正面的造价为\(400\)元\(/m^{2}\)，房屋侧面的造价为\(150\)元\(/m^{2}\)，屋顶和地面的造价费用合计为\(5800\)元，如果墙高为\(3m\)，且不计房屋背面的费用\(.\)当侧面的长度为多少时，总造价最低？
              难度：难
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            • 6． 甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边\(A\)处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸\(40\)千米的\(B\)处，乙厂到河岸的垂足\(D\)与\(A\)相距\(50\)千米，两厂要在此岸边\(AD\)之间合建一个供水站\(C\)，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米\(3a\)元和\(5a\)元，若\(CD=x\)千米，设总的水管费用为\(y\)元，如图所示，
              \((\)Ⅰ\()\)写出\(y\)关于\(x\)的函数表达式；
              \((\)Ⅱ\()\)问供水站\(C\)建在岸边何处才能使水管费用最省？
              难度：难
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            • 7． 已知函数\(f(x)=( \dfrac {1}{3})^{x}\)，其反函数为\(y=g(x)\)．
              \((1)\)若\(g(mx^{2}+2x+1)\)的定义域为\(R\)，求实数\(m\)的取值范围；
              \((2)\)当\(x∈[-1,1]\)时，求函数\(y=[f(x)]^{2}-2af(x)+3\)的最小值\(h(a)\)；
              \((3)\)是否存在实数\(m > n > 3\)，使得函数\(y=h(x)\)的定义域为\([n,m]\)，值域为\([n^{2},m^{2}]\)，若存在，求出\(m\)、\(n\)的值；若不存在，则说明理由．
              难度：难
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            • 8．

              已知函数\(f(x)=\ln x+ \dfrac{a}{x}-2 \)．

              \((1)\)讨论\(f(x) \)的单调性；

              \((2)\)若函数\(y=f(x) \)的两个零点为\({x}_{1},{x}_{2}({x}_{1} < {x}_{2}) \)，证明：\({x}_{1}+{x}_{2} > 2a \)．

              难度：难
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            • 9．

              已知函数\(f(x)=x^{2}-ax+2\ln x(\)其中\(a\)是实数\()\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的单调区间；

              \((\)Ⅱ\()\)若设\({2}({e}+\dfrac{{1}}{{e}}) < a < \dfrac{{2}0}{{3}}\)，且\(f(x)\)，有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，求\(f(x_{1})-f(x_{2})\)取值范围\(.(\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)．

              难度：难
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            • 10．

              已知函数\(f(x)=\dfrac{a\ln x}{x+1}+\dfrac{b}{x}\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(x+2y-3=0\)．

              \((I)\)求\(a\)，\(b\)的值；

              \((II)\)证明：当\(x > 0\)，且\(x\ne 1\)时，\(f(x) > \dfrac{\ln x}{x-1}\)．

              难度：难
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