已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(n{a}_{n}-\left(n+1\right){a}_{n-1}=2{n}^{2}+2n(n=2,3,4...),{a}_{1}=6 \)

\((1)\)求证\(\left\{ \dfrac{{a}_{n}}{n+1}\right\} \)为等差数列，并求出\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式

\((2)\)数列\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\(S_{n,}\)求求证：\({S}_{n} < \dfrac{5}{12} \)

在等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\(3{{a}_{1}},\dfrac{1}{2}{{a}_{5}},2{{a}_{3}}\)成等差数列，则\(\dfrac{{{a}_{9}}+{{a}_{10}}}{{{a}_{7}}+{{a}_{8}}}=\)              ．

已知\(f(x)\) 是定义在\(R\) 上的不恒为零的函数，且对于任意的_{\(a,b∈R \)}，满足_{\(f(a,b)=af(b)+bf(a) \)}，\(f(2)=2\)，数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 满足_{\({a}_{n}= \dfrac{f({2}^{n})}{{2}^{n}}(n∈{N}^{*}) \)}．

\((1)\)求数列_{\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)} 的通项公式；

\((2)\)若存在正整数_{\(n\in [1,10]\)} ，使得_{\(m{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{n}}-2m-1 < 0\)} 成立，求实数_\(m\) 的取值范围。

若存在常数\(k\left( k\in {{N}^{*}},k\geqslant 2 \right)\)、\(q\)、\(d\)，使得无穷数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{n+1}}=\begin{cases} {{a}_{n}}+d,\dfrac{n}{k}\notin {{N}^{*}} \\ q{{a}_{n}},\dfrac{n}{k}\in {{N}^{*}} \\\end{cases}\)，则称数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为“段比差数列”，其中常数\(k\)、\(q\)、\(d\)分别叫做段长、段比、段差\(.\)设数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)为“段比差数列”，它的首项、段长、段比、段差分别为\(1\)、\(3\)、\(q\)、\(3\)．

  \((1)\)当\(q=0\)时，求\({{b}_{2014}}\)，\({{b}_{2016}}\)；

  \((2)\)当\(q=1\)时，设\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(3n\)项和为\({{S}_{3n}}\)，

       \(①\)证明：\(\left\{ {{b}_{3n-1}} \right\}\)为等差数列；

       \(②\)证明：\({{b}_{3n-2}}+{{b}_{3n}}=2{{b}_{3n-1}}\)；

       \(③\)若不等式\({{S}_{3n}}\leqslant \lambda \cdot {{3}^{n-1}}\)对\(n\in {{N}^{*}}\)恒成立，求实数\(\lambda \)的取值范围；

已知首项都是\(1\)的两个数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}({{b}_{n}}\ne 0),n\in {{N}^{*}})\)满足\({{a}_{n}}{{b}_{n+1}}-{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}+2{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=0.\)

\((1)\)令\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}},\)求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2\)若\({{b}_{n}}={{3}^{{n}}},\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{{n}}}\) ．

在数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)中，\(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，\(3\)\(a_{n}a_{n}\)\({\,\!}_{-1}+\)\(a_{n}\)\(-\)\(a_{n}\)\({\,\!}_{-1}=0(\)\(n\)\(\geqslant 2\)，\(n\)\(∈N^{*}).\)

\((1)\)求证：数列\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{a_{n}}\end{matrix}\right\}\)是等差数列；

\((2)\)求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；

\((3)\)求数列\(\{a_{n}a_{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)

数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1,{{a}_{n+1}}\cdot {{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=0,\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\)，

 \((1)\)证明数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是等差数列，并求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

 \((2)\)设\({{c}_{n}}=[\dfrac{2{{b}_{n}}+3}{5}],\)求数列\(\{{{c}_{n}}\}\)的前\(8\)项和\({{S}_{n}}\)，其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，如\([0.9]=0,[2.6]=2\)。

己知数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1} > a_{n}\)，\((a_{n}+a_{n+1}-1)^{2}=4a_{n}a_{n+1}(n∈N^{*}).\)

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)记\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{{{a}_{n}}}}\)，\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，估算\(T_{2017}\)的整数部分．

\((\)参考数据：\(1.41 < \sqrt{2} < 1.42\)，\(44.92 < \sqrt{2018} < 45)\)