知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(n{a}_{n}-\left(n+1\right){a}_{n-1}=2{n}^{2}+2n(n=2,3,4...),{a}_{1}=6 \)

\((1)\)求证\(\left\{ \dfrac{{a}_{n}}{n+1}\right\} \)为等差数列，并求出\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式

\((2)\)数列\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\(S_{n,}\)求求证：\({S}_{n} < \dfrac{5}{12} \)

难度：难

解析收藏试题篮
2．已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，对任意\(n∈N*\)，点\(\left( n,{{S}_{n}} \right)\)都在函数\(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-x\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；
\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{S}_{n}}}{n+p}\)，且数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列，求非零常数\(p\)的值；
\((3)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{2}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，\({{T}_{n}}\)是数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求使得\({{T}_{n}} < \dfrac{m}{20}\)对所有\(n∈N*\)都成立的最小正整数\(m\)．

难度：难

解析收藏试题篮
3．
\((1)\)已知\(-1,{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},-9\)五个实数成等差数列，\(-1\)，\(b1\)，\(b2\)，\(b3\)，\(-9\)五个实数成等比数列，则\((a1-a3)/b2\)等于_______ ．
\((2)\dfrac{\sin 160{}^\circ }{\sin 110{}^\circ }-\tan 320^{\circ}+\sqrt{3}\tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ}=\)______．
\((3)\)已知集合\(A=\{\left. x \right|{{x}^{2}}-16 < 0\}\)，\(B=\{x\left| {{x}^{2}}-4x+3 > 0 \right.\}\)，则\(A∩B=\)_________．
\((4)\)如图，测量河对岸的塔高\(AB\)时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点\(C\)与\(D\)，测得，测得\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(CD=60\)，\(∠BDC=60^{\circ}\)，并在点\(C\)测得塔顶\(A\)的仰角为\(60^{\circ}\)，则塔高\(AB=\)________\(m\)．

难度：难

解析收藏试题篮
4．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对任意的正整数\(n\)，总存在正整数\(m\)，使得\(S_{n}=a_{m}\)，则称\(\{a_{n}\}\)是“\(H\)数列”．
\((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}=2^{n}(n∈N^{*})\)，证明：\(\{a_{n}\}\)是“\(H\)数列”；
\((2)\)设\(\{a_{n}\}\)是等差数列，其首项\(a_{1}=1\)，公差\(d < 0\)，若\(\{a_{n}\}\)是“\(H\)数列”，求\(d\)的值；
\((3)\)证明：对任意的等差数列\(\{a_{n}\}\)，总存在两个“\(H\)数列”\(\{b_{n}\}\)和\(\{c_{n}\}\)，使得\(a_{n}=b_{n}+c_{n}(n∈N^{*})\)成立．

难度：难

解析收藏试题篮
5．
在等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\(3{{a}_{1}},\dfrac{1}{2}{{a}_{5}},2{{a}_{3}}\)成等差数列，则\(\dfrac{{{a}_{9}}+{{a}_{10}}}{{{a}_{7}}+{{a}_{8}}}=\) ．

难度：难

解析收藏试题篮
6．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{n}\neq 0\)，\(a_{1}=1\)，且\(2a_{n}a_{n+1}=4S_{n}-3(n∈N^{*}).\)

\((1)\)求\(a_{2}\)的值并证明：\(a_{n+2}-a_{n}=2\)；

\((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

难度：难

解析收藏试题篮

7．

设数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(0\)的递增数列，\(f_{n}(x)=|\sin \dfrac{1}{n}(x-a_{n})|\)，\(x∈[a_{n},a_{n+1}]\)，\(n∈N^{*}\)，若对任意的\(b∈[0,1)\)，\(f_{n}(x)=b\)总有两个不同的实数根，则\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=(\)　　\()\)

A．\((n^{2}-1)π\)

B．\( \dfrac{n^{2}-1}{2}π\)

C．\(n(n-1)π\)

D．\( \dfrac{n(n-1)}{2}π\)

难度：难

解析收藏试题篮

8．

\((1)\)已知不等式组\(\begin{cases}\begin{matrix}y\leqslant x \\ y\geqslant -x\end{matrix} \\ x\leqslant a\end{cases} \)表示的平面区域\(S\)的面积为\(4\)，则\(z=2x+y\)的最大值为_____．

\((2)\)将数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：

\(①\)各行的第一个数\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{5}}\)构成公差为\(d\)的等差数列；

\(②\)从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为\(q\)的等比数列．

若\({{a}_{1}}=1,{{a}_{3}}=4,a_{5}^{{}}=3\)，则第\(n\)行的和\({{T}_{n}}=\)________

\((3)\)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为\(12 cm\)，深\(2cm\)的空穴，则该球的表面积是_____\(cm²\)．

\((4)\)已知\(\Delta ABC\)的外接圆半径为\(R\)，且\(2R({{\sin }^{2}}A-{{\sin }^{2}}C)=(\sqrt{2}a-b)\sin B.\) 则\(\angle C=\)____

难度：难

解析收藏试题篮
9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)满足\((n+1)b_{n}=a_{n+1}- \dfrac{S_{n}}{n}\)，\((n+2)c_{n}= \dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}}{2}- \dfrac{S_{n}}{n}\)，其中\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是公差为\(2\)的等差数列，求数列\(\{c_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若存在实数\(λ\)，使得对一切\(n∈N^{*}\)，有\(b_{n}\leqslant λ\leqslant c_{n}\)，求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列．

难度：难

解析收藏试题篮
10．
在我国古代著名的数学专著\(《\)九章算术\(》\)里有\(—\)段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需日相逢．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷