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          共50条信息

            • 1．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，\(a_{1}=2\)，\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，且\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+…+a_{n}b_{n}=(n-1)⋅2^{n+2}+4\)对任意的\(n∈N*\)恒成立．

              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)是否存在非零整数\(λ\)，使不等式\(\sin \dfrac{{a}_{n}π}{4} < \dfrac{1}{λ\left(1- \dfrac{1}{{a}_{1}}\right)\left(1- \dfrac{1}{{a}_{1}}\right)…\left(1- \dfrac{1}{{a}_{n}}\right) \sqrt{{a}_{n}+1}} \)对一切\(n∈N*\)都成立？若存在，求出\(λ\)的值；若不存在，说明理由．

              \((3)\)各项均为正整数的无穷等差数列\(\{c_{n}\}\)，满足\(c_{39}=a_{1007}\)，且存在正整数\(k\)，使\(c_{1}\)，\(c_{39}\)，\(c_{k}\)成等比数列，若数列\(\{c_{n}\}\)的公差为\(d\)，求\(d\)的所有可能取值之和．

              难度：难
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            • 2． 设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=0\)且\(\dfrac{1}{1-{{a}_{n+1}}}-\dfrac{1}{1-{{a}_{n}}}=1\)．

              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1-\sqrt{{{a}_{n+1}}}}{\sqrt{n}}\)，记\({{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{b}_{k}}}\)，证明：\(S_{n} < 1\)．

              难度：难
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            • 3． 已知函数\(f(x)= \int _{ 0 }^{ x }(t^{2}-at-\cos t)dt\)，\(g(x)=(a-x)\cos x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，试求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{0}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(a_{n+1}= \dfrac { \sqrt {2}}{2} \sqrt {1- \sqrt {1-a_{n}^{2}}}(n=0,1,2,…)\)，证明：\(a_{n} < \dfrac {π}{2^{n+2}}\)．
              难度：难
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)是各项均不为零的等差数列，\(S_{n}\)为其前\(n\)项和，且\(a_{n}= \sqrt {S_{2n-1}}(n∈N^{*}).\)若不等式\( \dfrac {λ}{a_{n}}\leqslant \dfrac {n+8}{n}\)对任意\(n∈N^{*}\)恒成立，则实数\(λ\)的最大值为 ______ ．
              难度：难
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            • 5．

              已知首项为\(\dfrac{1}{3}\)的数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，定义在\({[}1{,+∞})\)上恒不为零的函数\(f(x)\)，对任意的\(x\)，\(y{∈}R\)，都有\(f(x){⋅}f(y){=}f(x{+}y){.}\)若点\((n{,}a_{n})(n{∈}N{*})\)在函数\(f(x)\)的图象上，且不等式\(m^{2}{+}\dfrac{2m}{3}{ < }S_{n}\)对任意的\(n{∈}N{*}\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围为______

              难度：难
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            • 6． 在锐角\(\triangle ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(A\)、\(B\)、\(C\)成等差数列，\(b= \sqrt {3}\)，则\(\triangle ABC\)面积的取值范围是______．
              难度：难
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            • 7．
              已知各项均为正实数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(4S_{n}=a_{n}^{2}+2a_{n}-3\)对于一切\(n∈N^{*}\)成立．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(b_{n}= \sqrt {2^{a_{n}-1}},T_{n}\)为数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{b_{n}}\}\)的前\(n\)项和，求证\(T_{n} < 5\)．
              难度：难
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            • 8．

              \((\)选作\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对任意\(n∈N^{*}\)，函数\(f(x)=x^{2}-S_{n}\cos x+2a_{n}-n\)在定义域内有唯一的零点\(.\)若不等式\( \dfrac {λ}{n}\geqslant \dfrac {n+1}{a_{n}+1}\)对任意\(n∈N^{*}\)恒成立，则实数\(λ\)的最小值是\((\)　　\()\)

              A．\(1\)
              B．\( \dfrac {5}{4}\)
              C．\( \dfrac {3}{2}\)
              D．\(2\)
              难度：难
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            • 9． 已知两点\(F_{1}(-1,0)\)及\(F_{2}(1,0)\)，点\(P\)在以\(F_{1}\)、\(F_{2}\)为焦点的椭圆\(C\)上，且\(|PF_{1}|\)、\(|F_{1}F_{2}|\)、\(|PF_{2}|\)构成等差数列．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)如图，动直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)有且仅有一个公共点，点\(M\)，\(N\)是直线\(l\)上的两点，且\(F_{1}M⊥l\)，\(F_{2}N⊥l.\)求四边形\(F_{1}MNF_{2}\)面积\(S\)的最大值．
              难度：难
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对任意\(n∈N^{*}\)，有\(2a_{n}=S_{n}+n\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(f(n)=n^{2}(n∈N^{*})\)，试比较\(S_{n}\)与\(f(n)\)的大小，并说明理由．
              难度：难
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