知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•徐州期中）将正偶数排列如图，其中第i行和第j列的数表示为a_ij=（i，j∈N⁺），例如a₄₃=18，若a_ij=2016，则i+j= ．

难度：中等

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2．购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费，养路费及汽油费合计为1万元，汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，
（1）求这种汽车使用n年的年平均费用y与n的函数关系式；
（2）问使用多少年报废最合算（即使用多少年年平均费用最少）？

难度：中等

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3． 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h-x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=
ax
ax+2
的图象过点(1，
2
3
)．
（1）求a的值；
（2）化简h(0)+h(
1
9
)+h(
2
9
)+…+h(
8
9
)+h(1)；
（3）设an=h(0)+h(
1
n
)+h(
2
n
)+…+h(
n-1
n
)+h(1)，b_n=
1
4an•an+1
，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜2λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：中等

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4． n²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
a11 a12 a13a14…a1n
a21 a22 a23a24…a2n
a31 a32 a33a34…a3n
… … …
an1 an2 an3an4…ann
，其中a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₂=6，a₃₃=16．
（Ⅰ）求a₁₁和a_ij．
（Ⅱ）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1．
①求A_n；
②证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

难度：中等

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5．某种放射性物质，每经过一年平均减少6.2%，求5年后1克这样的物质还剩克？（精确到0.001）

难度：中等

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6．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＜
2
3
（n∈N^*）

难度：中等

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7．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出A_n与A_n-1的关系及B_n与B_n-1的关系．

难度：中等

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8．某市新区一街道AB长1500米，街道A处有大量河沙，为方便工作，需要提前在街面上每隔50米放置一车沙，现用一辆车将A年的沙由到远依次倒放在指定地点，问：将所有各点的沙倒完时，这辆车共往返行驶了多少路程？

难度：中等

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9．定义：对于项数为m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，…a_k（k≤m）（m＞3）中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的伴随数列，例如数列3，6，8，7的伴随数列为3，6，8，8．考查自然数1，2，…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}，若m=4，则伴随数列为1，4，4，4的所有数列{c_n} 为．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
x+3
x+1
，x∈（0，+∞），数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，a₁=1．
（1）试比较|a_n+1-
3
|与|a_n-
3
|的大小，并说明理由．
（2）求证：|a₁-
3
|+|a₂-
3
|+|a₃-
3
|+…+|a_n-
3
|＜
3
+1．

难度：中等

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