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          共50条信息

            • 1．

              设各项均为正数的数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\(4{{S}_{n}}=a_{^{_{n+1}}}^{2}-4n-1\)，且\({{a}_{1}}=1\)，公比大于\(1\)的等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{2}}=3\)，\({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=10\)．

              \((1)\)求证数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，并求其通项公式；

              \((2)\)若\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{3{{b}_{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，若\({{c}_{n}}\leqslant {{t}^{2}}+\dfrac{4}{3}t-2\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

              难度：难
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            • 2．

              若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

              \((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

              难度：难
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            • 3．
              已知正项等比数列\(\{b_{n}\}(n∈N_{+})\)中，公比\(q > 1\)，\(b_{3}+b_{5}=40\)，\(b_{3}b_{5}=256\)，\(a_{n}=\log _{2}b_{n}+2\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)若\(c_{n}= \dfrac {1}{a_{n}\cdot a_{n+1}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：难
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            • 4．
              等差数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，\(a_{1}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)；数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，\(b_{1}=1\)，且\(b_{2}S_{2}=6\)，\(b_{2}+S_{3}=8\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求\(\{a_{n}⋅b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 5．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{2}=5\)，\(a_{5}+a_{9}=30.\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)及前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}= \dfrac {1}{S_{n}}(n∈N*)\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 6．
              在数列\(\{a_{n}\}\)及\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{n+1}=a_{n}+b_{n}+ \sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\)，\(b_{n+1}=a_{n}+b_{n}- \sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\)，\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=1.\)设\(c_{n}= \dfrac {1}{a_{n}}+ \dfrac {1}{b_{n}}\)，则数列\(\{c_{n}\}\)的前\(2017\)项和为 ______ ．
              难度：难
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            • 7． 设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，\({{a}_{3}}=5,{{a}_{5}}-2{{a}_{2}}=3\) ，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)为等比数列，满足\({b}_{1}=3,公比q=3 \)
              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)和\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\({{c}_{n}}={{a}_{n}}\cdot {{b}_{n}}\) ，设\({{T}_{n}}\)为\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求\({{T}_{n}}\) \(.\) 
              难度：难
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            • 8． 已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{2}=\) \(a\)\(( \)\(a\)为非零常数\()\)，其前 \(n\)项和\(S\) \({\,\!}_{n}\)满足：\(S\) \({\,\!}_{n}\)\(= \dfrac{n\left({a}_{n}-{a}_{1}\right)}{2}\left(n∈{N}^{*}\right) \)
              \((1)\)求数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；
              \((2)\)若 \(a\)\(=2\)，且\( \dfrac{1}{4} \) \(a_{m}\)\({\,\!}^{2}-S\) \({\,\!}_{n}\)\(=11\)，求 \(m\)、 \(n\)的值；
              难度：难
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            • 9．

              数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项\({{a}_{n}}={{n}^{2}}({{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{3}-{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{3})\)，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，则\({{S}_{30}}\)为_______．

              难度：难
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            • 10．

              数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\({{a}_{n}}+\dfrac{{{a}_{n+1}}}{2{{a}_{n+1}}-1}=0\) ．

              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{a}_{n}}} \right\}\) 是等差数列；

              \((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=2\)，\(\dfrac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}\) ，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

              难度：难
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