知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}满足a_n₊₁=a_n²﹣a_n+1（n∈N*），S_n为{a_n}的前n项和．证明：对任意n∈N^* ，
（I）当0≤a₁≤1时，0≤a_n≤1；
（II）当a₁＞1时，a_n＞（a₁﹣1）a₁ⁿ^﹣¹；
（III）当a₁= $\text{[math]}$ 时，n﹣ $\text{[math]}$ ＜S_n＜n．

难度：难

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2．已知 $a_%7Bn%7D%3D%20%E2%88%AB_%7B%200%20%7D%5E%7B%20n%20%7D%282x%2B1%29dx$ ，数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%5C%7D$ 的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为 ______ ．

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3．已知在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a_n＞0，且4S_n=a_n²+2a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，公比q＞1，b₁=a₁，且2b₂，b₄，3b₃成等差数列．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D$ ，若{c_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜6．

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ （a_n-1）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a_n的通项公式．

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5．设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a_n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．
（1）求a₃；
（2）求a_n．

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg $%20%5Cfrac%20%7B10a_%7B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

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7．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及Sn=
n
i=1
ai；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

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8．定义：
.
a    b
c    d
.
=ad-bc，设f(x)=
.
x-3k    x
2k          x
.
+3k•2k（x∈R，k为正整数）
（1）分别求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解
（2）设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄的值及数列{a_n}的前2n项和
（3）对于（2）中的数列{a_n}，设bn=
(-1)n
a2n-1a2n
，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

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9．设函数f（x）=
2x
2x+
2
的图象上两点P₁（x₁，y₁） P₂（x₂，y₂），若
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
），且点P的横坐标为
1
2
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若S_n=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求S_n；
（3）记T_n为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若T_n＜a（Sn+1+
2
）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围

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10．已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点(b_n，s_n)在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和(n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求证：数列{b_n}是等比数列；
(3)设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明； $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ≤T_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ．

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